不等式

問題

$n=1,2,3...、k=0,1,2...n-1$とします。

また、不等式$$a_1<a_2<...<a_n≦n$$

を$A_0$とし、$A_0$の$n-1$個の$<$のうち$k$個が$≦$に置き換わったものの一つを$A_k$とします。

ここで、$A_k$をみたす正整数$(a_1,a_2...a_n)$の組の総数を$N_k$とするとき、$N_0+N_1+...+N_{n-1}$を$n$を用いて表してください。

解答形式

$C$(コンビネーション記号)を用いて、$aCb$の形で表すことができるので、$a,b$の間に半角スペースを入力して、$a$ $b$を半角英数字で入力してください。
追記:ただし、$b$は$2$つの値が考えられるので、小さい方を入力してください。
例)$nC2→n$ $2,2nCn→2n$ $n$

※初めの解答では指定がなく間違い判定になった方がいたので修正させていただきました、、

問題文

$$
x+ \frac{1}{x} =1
$$
のとき以下の値を求めよ
$$
\sum_{k=1}^{10^m}(x^{k}+\frac{1}{x^{k}}) \quad
$$
ただしmは自然数である。

回答形式

半角数字で答えてください。
また、複数個の値を取りうる場合は値の小さい順に改行して入力してください。

問題文

正八角形 $P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7P_8$があり, 各頂点に $0,1,2$ のいずれかの数字を $1$ つずつ書き込みます.
頂点 $P_i$ に書かれた数字のことを, $f(P_i)$ で表すこととします.

正八角形の頂点 $P_i$ が"孤独な頂点"であるとは, $f(P_i) \neq f(P_{i-1})$ かつ $f(P_i) \neq f(P_{i+1})$ を満たすことと定義します.
ただし, 便宜上 $f(P_0)=f(P_8),\ f(P_9)=f(P_1)$ であるとします.
また, 正八角形の"孤独な頂点"の個数を"孤独度"と呼ぶことにします.

正八角形の頂点に数字を書き込む方法は $3^8$ 通りありますが, それらすべてについて"孤独度"の総和を求めてください.

例：
$$(f(P_1), f(P_2), f(P_3), f(P_4),f(P_5), f(P_6), f(P_7), f(P_8)) = (0,1,2,1,2,1,2,0)$$ のときは $P_2,...,P_7$ が"孤独な頂点"となるので, この数字の書き込み方の"孤独度"は $6$ となります.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

問題文

座標平面において $A(0,4000),B(-3000,0),C(3000,0)$ をとります．次の条件をすべて満たすような直線 $\ell$ として考えられるものは何通りありますか．

• $\ell$ と直線 $AB$ は点 $P$ で交わり， $P$ の $x$ 座標は $-3000$ より大きく $0$ より小さい．
• $\ell$ と直線 $AC$ は点 $Q$ で交わり， $Q$ の $x$ 座標は $3000$ より大きい．
• 線分 $BP$ の長さと線分 $CQ$ の長さは整数値である．
• $\ell$ と $x$ 軸の交点を $R$ とするとき，$\triangle RPB$ と $\triangle RQC$ の面積は等しい．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$f_0=0,f_1=1,f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$で定義された数列において、$f_p$が$p$の倍数となるような素数$p$を全て求めてください。

解答形式

計算式全てを書く必要はないので論証の概略と答えを書いてください。

三角形ABCとDEFにおいて
AB=DF,BC=DE,∠B=63°,∠C=30°,∠D＝171°
であるとき,∠Eの角度を求めてください。

解答形式

非負整数を半角で入力してください。

問題

次の実数 $a,b,c$ に対し，つねに $|ax+by|\leqq |c|$ となる実数 $x,y$ の和の値域幅を求めよ．

• $p,q$ の連立方程式 $ap+bq=c,\ (b-c)p+(c+a)q=a+7b$ は解を複数個もつ．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

下の図において, $\triangle ABC$ と $\triangle BDE$ は二等辺三角形です. さらに,
$$\angle ABC=\angle BDE=90^\circ,\hspace{1pc} \angle EBC=60^\circ\\
BC=32, \hspace{1pc} DB=6\sqrt{2}$$ が成立します. 線分 $AE$ の中点を $M$ とするとき, 線分 $DM$ の長さを求めてください.
ただし, $E$ は $\triangle ABC$ の内側にあります.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

問題文

以下の値を素数 $2017$ で割った余りを解答してください。ただし、$\lfloor x\rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数を表します。

$\displaystyle\sum_{k=1}^{2023} \left\lfloor\dfrac{3}{7}×2^k\right\rfloor(-1)^{k+1}$

解答形式

非負整数を半角で入力してください．

問題文

$3$ つの自然数を積が $1000000$ となるように選ぶ方法は何通りありますか.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

追記：
回答いただいた内容的に, $3$ つの自然数を区別するかどうかがわかりにくかったと思われるので追記します.
この問題では $3$ つの自然数は区別しません. すなわち, $(1,10,100000)$ と $(10,1,100000)$ のように
並び替えただけの組は同一のものとみなします.

問題文

$10$人で輪になってじゃんけんをするとき，どの隣り合う$3$人も「あいこ」にならないような手の出し方は何通りありますか？

解答形式

半角数字で入力してください．

$100\times 100$ のマス目があります. 上から $i$ 行目, 左から $j$ 列目のマスを $100(i-1)+j$ と呼ぶことにします. SMC 君は一般的な $6$ 面サイコロを $10000$ 回振り, $i$ 回目に振って出た目をマス $i$ に書き込みます. このとき, 以下の条件を満たす確率を $p$ とするとき, $6^{10000}p$ は整数になるので, 素数 $3299$ で割った余りを求めてください.

• 任意の行について, その行のマスに書かれた整数の総和は偶数.
• 任意の列について, その列のマスに書かれた整数の総和は $3$ の倍数.