C

問題文

$AB=2,AC=1$ をみたす三角形 $ABC$ の垂心を $H$，内心を $I$，外接円を $\Gamma$ とします．直線 $AH$ と $BI$ の交点を $D$ とし，$A$ における $\Gamma$ の接線と直線 $CD$ の交点を $X$ とすると，$AX=BX$ となりました．このとき，辺 $BC$ の長さを求めてください．ただし，求める値は，互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子をもたない正整数 $b$ を用いて $\dfrac{a+\sqrt{b}}{c}$ と表されるので，$a\times b\times c$ を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，$\angle A$ (内角) の二等分線と $BC$，円 $ABC$ の交点をそれぞれ $D, M(\neq A)$，$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $E$，$AC$ の中点を $N$，円 $ENC$ と円 $ABC$ の交点を $X(\neq C)$，円 $XMD$ と $BC$ の交点を $P(\neq D)$，$PM$ の中点を $Q$ とします．
$$AB=9,　AC=14,　QN=8$$
であるとき，$BC$ の長さは正整数 $a, b, c$ を用いて $\dfrac{a\sqrt b}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

一辺の長さが $5$ の正方形 $ABCD$ の辺 $AB$ 上（端点は除く）に点 $P$ をとります．三角形 $ACP$ の外接円と三角形 $BDP$ の外接円が $P$ でない点 $Q$ で交わり，$DQ=4$ となりました．このとき，線分 $PQ$ の長さを求めてください．ただし，求める長さは，互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子をもたない正整数 $b$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と表されるので，$a+b+c$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

鋭角三角形 $ABC$ について，垂心を $H$，外心を $O$，直線 $CH$ と直線 $AB$ の交点を $F$，直線 $BC, AC$ について $F$ と対称な点をそれぞれ $X, Y$ とし，直線 $BX$ と直線 $AY$ の交点を $P$ とします．$\angle FOX=\angle AFP$ かつ $FH=1, HC=7$ が成り立つとき，円 $ABC$ の半径としてありうる値の二乗の総和は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

問題文

$10$ 進数での桁和が $2500$ となる正整数であって， $2024$ の倍数となるものうち，最小のものを $M$ とします．$M$ を $10$ 進表記したときの $10^{k-1}$ の位の値を $M_k$ としたとき，$1\leq M_k \leq 8$ を満たす $k$ の総積を $10000000$ で割った余りを答えてください．
ただし，以下の $10^n$ を $2024$ で割った余りに関する表を用いて構いません．

$$
\begin{array}{c:ccccccccc}
n & 3 &4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline
10^n\pmod{2024} &1000 & 1904 &824& 144 & 1440& 232& 296
\end{array}\\\\
\begin{array}{ccccccccc}
10 & 11& 12 & 13 &14 & 15 & 16 & 17 & 18\\
\hline
936& 1264 & 496 &912 & 1024 &120 &1200 & 1880 & 584
\end{array}\\\\
\begin{array}{ccccccccc}
19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 &25\\
\hline
1792 & 1728 & 1088 & 760 & 1528 & 1112 & 1000
\end{array}
$$

解答形式

半角数字で解答してください．
たとえば $M=9876543210$ であれば，$M_1=0,M_2=1,\ldots,M_{10}=9$ となるため，$1\leq M_k \leq 8$ を満たす $k$ の総積は $2 \times \cdots \times 9= 362880$ となります．

問題文

三角形 $ABC$ の外心を $O$，垂心を $H$，外接円を $\Gamma$ とする．そして，以下のように点を4つとる．

• 直線 $BH$ と $\Gamma$ との交点を $P(\not=B)$ とする．
• 直線 $PO$ と $\Gamma$ との交点を $Q(\not=P)$ とする．
• 直線 $QH$ と $\Gamma$ との交点を $R(\not=Q)$ とする．
• 直線 $RO$ と $\Gamma$ との交点を $S(\not=R)$ とする．

このとき，3点 $ C,H,S$ が同一直線上にあった．

$$AH=17 , AO=11$$

のとき，三角形 $ABC$ の面積を求めてください．

解答形式

答えを2乗した値は，互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を求めてください．

三角形ABCがある。初めに頂点ABCいずれかの頂点にランダムに駒を1つ置き、
操作nを繰り返し行うことで駒を移動させる。

$操作n:$$ カードがそれぞれn，n+1，n+2枚入った箱ABCを用意する。$$それぞれの箱にあたりの
カードが3，4，2枚入っている。$$
頂点Aにいる時は、まず箱BかCをランダムに選び、$$選んだ箱からカードを1枚引く。$$箱Bであたりを引くと頂点Aにそのまま、$$箱Cであたりを引くと頂点Bに、$$どちらの箱においてもハズレを引くと頂点Cに移動する。$$頂点Bにいる時は、箱Aからカードを1枚引き、$$あたりをひくと頂点Aに、$$ハズレだと頂点Cに移動する。
$$頂点Cにいるときは何もしない。$

$操作3→操作4→操作5→・・・→操作kを行った時(3 \leq k)頂点Aに駒がいる確率を求めよ。$

問題文

$m,m'\geq1,n\geq0$を満たす任意の整数$m,m',n$に対し$,\ $$A(m,n)$は
$$
A(1,n) = \frac{1}{n!},\qquad A(m+m',n) = \sum_{k=0}^{n}A(m,k)A(m',n-k)
$$を満たす。$1 \leq m \leq 100,0 \leq n \leq 100$を満たし$,\ $かつ$A(m,n)$が整数であるような整数$m,n$について$,\ $積$m\times n$の総和を求めよ。

問題文

下の図において, $\triangle ABC$ と $\triangle BDE$ は二等辺三角形です. さらに,
$$\angle ABC=\angle BDE=90^\circ,\hspace{1pc} \angle EBC=60^\circ\\
BC=32, \hspace{1pc} DB=6\sqrt{2}$$ が成立します. 線分 $AE$ の中点を $M$ とするとき, 線分 $DM$ の長さを求めてください.
ただし, $E$ は $\triangle ABC$ の内側にあります.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

問題文

4x4のマス目のうち、0個以上のマスを選んで1つずつ地雷を置き、すべてのマスに周囲8マス(自身を含まない)の地雷の数を書きます。
地雷を置くすべてのパターンにおいて書かれている数字の総和を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

円 $\Omega$ があり，その周上に点 $P, Q$ があります．いま，$\Omega$ の弧 $PQ$ 上に $2$ 点 $A, B$ を，$P, A, B, Q$ がこの順にあるように取り，線分 $PQ$ 上に点 $C$ を取ると，三角形 $ABC$ の外接円は辺 $PQ$ に接しました．いま，$CQ$ の中点を $M$ とすると，$BM, AQ$ は三角形 $ABC$ の外接円上で交わったのでこの点を $R$ とします．いま，三角形 $ABC$ の外接円と三角形 $PQR$ の外接円の $R$ でない交点を $S$ とするとき，
$$AS=4,　AP=2\sqrt{21},　BC=7$$
が成立しました．このとき，$BQ$ の長さは正整数 $a, b, c$ を用いて $\dfrac{\sqrt a-\sqrt b}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$2n\times 2n$のマス目に、以下の条件を満たすように正整数を書き込みます．

• 周上にないマスに$k$が書き込まれているとき、それと隣接するマスであって$k-1$以下の数が書き込まれているものが存在する．

このとき書き込まれた数の合計としてあり得る最小の値を$f(n)$とします．$f(111111)$を$5555$で割った余りを求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください．