過去垢の問題(整数②)

問題文

∮(-π/6→π/3) ((sinx)^3)/(sinx+cosx)dxの値を求めよ。

解答形式

解答は π/a-(√ b+c)/d-(1/e)log(√f+g)の形になります。
a,b,c,d,e,f,gに当てはまる自然数を順に半角で答えてください。
また、1つの値の間は1つずつ空白を開けるようにしてください。
(例)a=2, b=3, c=11,d=5,e=6,f=7,g=8の場合、
2 3 11 5 6 7 8

問題文

$f(x)=\frac{3-x}{ \sqrt{3(x+2)(-2x+1)}}$ $ (-2<x<0)$ とする
$f(x)$ が最小値を取るときの $x$ の値を求めよ

解答形式

解答は$-\frac{㋐}{㋑}$の形で表されるので、1行目に㋐を、2行目に㋑を半角数字で入力してください

問題文

以下の式を満たす任意の正整数の組$(x,y)$について、$xy$としてありうる値の総和を求めて下さい。
$$
x^{y}=y^{x-y}
$$

解答形式

半角数字で解答して下さい。

11の100乗（11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕
11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕
11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕
11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕
11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11）の下６桁
を、パスカルの三角形を利用して求めなさい。ただし、1234567890の下６桁は567890です。

問題文

$$
a_1 = 1,\quad a_2 = 2,\quad a_n = 5a_{n-1} - 6a_{n-2} \quad (n \geq 3)
$$

解答形式

$a_{10}$を求めなさい。

問題文

n を正の整数とし、$p$ を素数とする。$n!$ の素因数分解における $p$ の指数を $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$ とする。

量 $Q_n$ を次のように定義する。
$$ Q_n = \sum_{p \le n} \left( \frac{n}{p-1} - E_p(n!) \right) \log p $$
ただし、和は $n$ 以下の全ての素数 $p$ を走り、$\log$ は自然対数とする。

次の極限値を求めよ。
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{Q_n}{n} $$

ただし、オイラー・マスケロー二定数を $γ$ とする。

解答形式

半角で

問題文

△ABCについて、Aから直線BCに下ろした垂足をD、点Bから直線CAに下ろした垂足をE、△ABCの垂心をHとしたとき以下が成立しました。$$AH=3,AE=2,AC=5$$△AHB:△HCDは互いに素な自然数a,bを用いてa:bと表せるのでa+bの値を解答してください。

解答形式

半角数字を入力してください。

問題

$p$を$3$より大きい素数とする
$S=\sum_{k=1}^{p-2} k \cdot (k!) \cdot ((p-k-1)!)$　
を$p$で割った余りを求めよ。

解答形式

解答は既約分数で表せるので、
1行目に分子、
2行目に分母
を半角で書いてください
分母は1になる場合も書いてください

問題文

nを一桁の自然数とする。xについての多項式、

∫(0→x) (t^3 + {1/√(n-2)(n-3)(n-4)} t^-2 +1)^n dt

について、x^6の係数を自然数にするようなnを求めなさい。

解答形式

半角で一桁の数字を入力してください。

問題文

次を満たすような正整数の組 $(x,y,z)$ をすべて求めてください．
$$2^x+9^y+2025=2009^z-65-28$$

解答形式

簡単な証明をお書き下さい．

問題文

互いに素な整数の辺 $a,b,l$（斜辺 $l$）を持つ直角三角形を考える。内接円の半径を $r$、周長を $L$、面積を $S$ とする。
$L^2=kS$ ($k$ は正の整数) を満たすとき、
全てのkの値を求めよ。

解答形式

半角1スペースおきに小さい順に並べてください

問題文

$1$ 以上 $461$ 以下の整数からなる数列 $(a_1,a_2,\cdots,a_N)$ は以下を満たします.

• $a_1=309,a_N=461$.
• $a_n\neq 461\quad (n=2,3,\dots,N-1)$
• $n=2,3,\dots,N$ について, $(a_1+a_{n-1})a_n \equiv (1+a_1a_{n-1})\pmod{461}$

このとき, $N$ の値は一意に定まるので, $N$ の値を求めてください.
ただし, $461$ は素数であり,$2^n\equiv 1\pmod{461}$ をみたす正整数 $n$ の最小値は, $460$ であり, $3a_1\equiv 5\pmod{461}$ であることを用いて良いです.