OMCっぽい問題6（N分野・多分300点）

nを素数、o,kを正の整数とする。

2ⁿ+5⁰=k²

をみたすn,o,kの組(n,o,k)をすべて求めよ。

答えとなるn,o,pの値の総和を回答してください

問題文

$$
x+ \frac{1}{x} =-1
$$
のとき以下の値を求めよ
$$
\sum_{k=1}^{m^{3}-7m+9}(x^{k}+\frac{1}{x^{k}}) \quad
$$
ただしmは自然数である。

問題文

$$a,bは負でない整数とする。$$$$このときa!+b!=(a+b)!$$$$を満たす組(a,b)を全て求めよ。$$

解答形式

組(a,b)の個数を入力してください。

問題文

正の実数 $x,y,z$ が，
$$
(6x+15y+8z)xyz=5
$$
を満たす時， $(5x+5y+4z)^2$ の最小値を求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください

問題

$n=1,2,3...、k=0,1,2...n-1$とします。

また、不等式$$a_1<a_2<...<a_n≦n$$

を$A_0$とし、$A_0$の$n-1$個の$<$のうち$k$個が$≦$に置き換わったものの一つを$A_k$とします。

ここで、$A_k$をみたす正整数$(a_1,a_2...a_n)$の組の総数を$N_k$とするとき、$N_0+N_1+...+N_{n-1}$を$n$を用いて表してください。

解答形式

$C$(コンビネーション記号)を用いて、$aCb$の形で表すことができるので、$a,b$の間に半角スペースを入力して、$a$ $b$を半角英数字で入力してください。
追記:ただし、$b$は$2$つの値が考えられるので、小さい方を入力してください。
例)$nC2→n$ $2,2nCn→2n$ $n$

※初めの解答では指定がなく間違い判定になった方がいたので修正させていただきました、、

${}$　西暦2025年問題第4弾です。やや大きめのサイズの規則性の問題をお送りします。根拠まで詰めてほしいところですが、根性の規則性解法でも十分です。どうぞ戯れてやってください。

解答形式

${}$　解答は指定の組数を単位なしでそのまま入力してください。
（例）104組 → $\color{blue}{104}$

問題文

$A,B$を全ての要素が$2$以上$2024$以下の自然数からなる集合で$A$と$B$の和集合の要素数が$2023$個であるものとします。$A,B$から要素を自由に$1$つずつ選ぶとき、どのように要素を選んでもその$2$つの数の最大公約数が$1$になるような$A,B$の組$(A,B)$の個数を求めてください。ただし、必要ならインターネットにある素数表を検索して用いても構いません。また、空集合も条件を満たすものとしてください。

問題を少し変更いたしました。

解答形式

答えは正の整数$n$を用いて$2^n$と表せますから$n$を半角で1行目に入力してください。

問題文

$10$人で輪になってじゃんけんをするとき，どの隣り合う$3$人も「あいこ」にならないような手の出し方は何通りありますか？

解答形式

半角数字で入力してください．

${}$　西暦2025年問題第2弾です。第1弾に引き続き虫食算で、今回は掛け算にしてみました。数学的手法（約数や倍数、偶奇性や剰余、不等式による絞り込み、などなど）を適宜用いることで面倒な場合分けや仮置きを軽減できるよう仕込んでいるのは変わりません。パズル的に解くのもよし、数学的にゴリゴリ解くのもよし、どうぞお好きなようにお楽しみください！

解答形式

${}$　解答は上2行を「被乗数×乗数」の形で入力してください。
（例） $2025 \times 102 = 206550$ → $\color{blue}{2025 \text{×} 102}$
　入力を一意に定めるための処置です。数字は半角で、「×」の演算記号はTeX記法（\times）でも、絵文字や環境依存文字でもなく、全角記号の「×」でお願いします。空白（スペース）も入れる必要はありません。

問題文

四角形$ABCD$があります.線分$AC$上に点$P$を,線分$BP$上に点$Q$を,線分$DP$上に点$R$を取ります.直線$AQ$と線分$BC$,直線$CQ$と線分$AB$,直線$AR$と線分$CD$,直線$CR$と線分$AD$の交点をそれぞれ$S,T,U,V$とします.
$$\triangle BSA=(四角形BSPT)+8=\triangle BCT+12
\\\\\triangle AUD =30,\triangle CDV=25$$
が成り立つとき四角形$DVPU$の面積を求めてください.

解答形式

求める値は互いに素な自然数$p,q$を使って$\cfrac{q}{p}$と表されるので$p+q$の値を答えてください.

(変更 2024/6/27 ヒントを変えました.解説を未正解者も見れるように変更しました.)

問題文

整数$x, y, z$は$0<x<28,0<y, 0\leq z<20$ と $37x-13y=2z$ を共に満たします。このような整数の組$(x,y,z)$はいくつあるでしょう？

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$$\sum_{k=m}^{n}k!=p$$を満たす自然数m,nと素数pの組(m,n,p)を全て求めよ。

解答形式

mが小さい順に、そして組ごとに改行して解答してください。

例えば(m,n,p)=(1,2,3)(2,3,4)(3,4,5)のときは、
1,2,3
2,3,4
3,4,5
のように入力してください