工夫すると簡単になる問題

問題文

以下の連立方程式を満たすような実数の組$(a,b,c,d)$の個数を求めよ。
$$
\begin{cases} ab^2c^3d^4=1 \\ a^4bc^2d^3=1\\a^3b^4cd^2=1\\a^2b^3c^4d=1\end{cases}
$$

解答形式

半角数字で個数を入力してください。

問題文

3辺の長さがすべて整数である直角三角形を考える。その斜辺を$a$、直角を挟む2辺を$b, c$とする。

これらの辺の長さが、以下の関係式を満たしているという。
$$7a = 5(b+c)$$
この条件を満たす全ての直角三角形のうち、斜辺 $a$ が$10$の倍数であり、かつ $a < 200$ であるもの全てを考える。

それらの三角形の、面積の総和を求めよ。

解答形式

半角でスペースなし

問題文

以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0　―　(*)
$$
について，自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし，できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。

$(2)$ $P(n)$を$n$の式で表せ。

(3)(4)は，自作場合の数・確率1-3につづく

2025/01/07追記
解説をアップデート，全員に対して公開に設定

解答形式

$$
P(n)= \frac{A(Bn+C)(Dn+E)}{F(Gn^{2}+Hn+I)}
$$

$A$~$I$に当てはまる整数を半角数字，空白区切りで回答

文字式の分数解答で自動ジャッジするのが大変だったので穴埋め式です。
わざとわかりづらくしてるので、1が入るところとかあります。

この問題は(2)です。が(1)を解かなくてもできます。解くと作者が喜びます。

数直線上の点 $\mathrm P$ は初め原点にある．サイコロを振り $1, 2$ が出たら正の向きに $2$ 進み，$3, 4, 5, 6$ が出たら負の向きに
$1$ 進むという操作を繰り返す．
$6$ 回の操作をおこなったとき，点 $\mathrm P$ が常に $x\geqq0$ の範囲にある確率を求めよ．
答えは互いに素な自然数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac ab$ と表されるので，$1$ 行目に $a$ を，$2$ 行目に $b$ を答えよ．

✕✕

問題文

10の倍数でない正の整数 $n$ に対し, $f(n)$は, 十進法表示で $n$ を $1$ の位から逆の順番で読んで得られる正の整数として定めます. たとえば$f(123456789) = 987654321$です. $n+f(n)$が81の倍数となるような十進法で10桁の$n$の個数を解答してください．

備考

本問は大学への数学2024年12月学コン3番に掲載されている自作問題です.

問題文

以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0　―　(*)
$$
について，自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし，できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。

$(1)$ $P(2)$の値を求めよ。

(2)~(4)は，自作場合の数・確率1-2につづく

2025/01/07追記
解説をアップデート，全員に対して公開に設定

解答形式

分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答
例）$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答

問題文

$\angle{A}=60^\circ,AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，その外心を $O$ ，垂心を $H$ とします．直線 $OH$ と直線 $AB$ との交点を $P$ としたとき，以下が成立しました．$$AP=8,AH=7$$このとき，三角形 $ABC$ の面積は互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$AB=AC$ である直角二等辺三角形 $ABC$ があり，外接円の劣弧 $AC$ 上に点 $D$ をとります．すると $$AB=\sqrt{666},CD=6$$ が成り立ちました．$BD$ に $A$ から下ろした垂線の足を$H$ とした時，$AH\times BH$ の値を求めて下さい．

解答形式

半角の数字で答えて下さい．

$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=13053769$を満たす自然数$(a,b,c,d,e)$の組を1つ求めよ。ただし、$a<b<c<d<e$とする。

解答形式

a,b,c,d,e,fの順で、間を半角スペースで区切り解答してください。
(例)$(a,b,c,d,e)=(1,2,3,4,5)$だった場合
→1 2 3 4 5

問題

$AB=AC$なる二等辺三角形$ABC$について, $A$から$BC$に下した垂線の足を$H$とし, 線分$AH$上に点$P$をとると,
$$
AP=5　PH=3　∠PBC=∠PAC
$$
が成立した. このとき, 三角形$ABP$の面積の2乗を解答せよ.

問題文

三角形 $T$ の一つの辺の長さは平方数で，残りの辺の長さは素数であるとする．また，$T$ の面積は整数で，外接円の直径は素数であるとする．$T$ の各辺の長さを求めよ．

解答形式

$T$の3辺の長さの総和としてありうる値の総和を解答してください。（論証は採点できないので、解説を参照してください。）

備考

2018年3月の大学への数学「読者と作るページ」に掲載された問題です。