10の倍数でない正の整数 n に対し, f(n)は, 十進法表示で n を 1 の位から逆の順番で読んで得られる正の整数として定めます. たとえばf(123456789)=987654321です. n+f(n)が81の倍数となるような十進法で10桁のnの個数を解答してください.
本問は大学への数学2024年12月学コン3番に掲載されている自作問題です.
10k≡9k+1(mod81) です.
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三角形 T の一つの辺の長さは平方数で,残りの辺の長さは素数であるとする.また,T の面積は整数で,外接円の直径は素数であるとする.T の各辺の長さを求めよ.
Tの3辺の長さの総和としてありうる値の総和を解答してください。(論証は採点できないので、解説を参照してください。)
2018年3月の大学への数学「読者と作るページ」に掲載された問題です。
数直線上の点 P は初め原点にある.サイコロを振り 1,2 が出たら正の向きに 2 進み,3,4,5,6 が出たら負の向きに 1 進むという操作を繰り返す. 6 回の操作をおこなったとき,点 P が常に x≧0 の範囲にある確率を求めよ. 答えは互いに素な自然数 a,b を用いて ab と表されるので,1 行目に a を,2 行目に b を答えよ.
nを正の整数とします。連続する10個の整数の積n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+9)が20253で割り切れるようなnとしてあり得る最小のものを求めてください。
nの値を半角で入力してください。
4x4のマス目のうち、0個以上のマスを選んで1つずつ地雷を置き、すべてのマスに周囲8マス(自身を含まない)の地雷の数を書きます。 地雷を置くすべてのパターンにおいて書かれている数字の総和を求めてください。
半角数字で入力してください。
次の実数 a,b,c に対し,つねに |ax+by|≦|c| となる実数 x,y の和の値域幅を求めよ.
半角数字で入力してください.
(1) 4 つの実数 (10±√2±4√3)3+1 の和と等しい整数の最大素因数を求めよ. (2) 方程式 (2x2−x)(2x2−7x+6)=7 の実数解 x に対する x5−1x5 の値を求めよ.
(1),(2) の和を半角数字で入力してください.
4x4のマス目を1x2のタイル8枚で敷き詰める方法は何通りありますか?
以下の2次方程式 x2−2ax+b=0 ― (∗) について,自然数nを用いて以下の手順で係数a,bを定める。 a:−n以上n以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。 b:−n以上n2以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。 カードを引く確率は同様に確からしいとし,できた2次方程式が実数解をもつ確率をP(n)とする。
(1) P(2)の値を求めよ。
(2)~(4)は,自作場合の数・確率1-2につづく
2025/01/07追記 解説をアップデート,全員に対して公開に設定
分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答 例)12と答えたいときは 2 1 と回答
4x4のマスのうち1個以上に、対角線を1本ずつ引いたとき、全ての対角線がループの一部分であるものは何通りですか? 但し、「ループの一部分である」とは、 全ての対角線の端が、ちょうど1つの別の対角線の端と同位置にあることを意味します。
(1) 集合 Sn={nx∣x3≦2x2+5x−6} に対し,整数 k∉¯S1∩S2∪S3 は何個あるか. (2) 3 桁の素数は 200 個未満か.
命題は真なら 1,偽なら 0 として,(1),(2) の和を半角数字で入力してください.
100をe進数で表記すると何桁になるか。(整数部分のみ)
半角数字+「桁」という文字(例:1桁)
AB<AC で,線分 AB,AC の長さが正整数値である三角形 ABC について,半直線 CB 上で線分 BC 上でないところに点 D ,半直線 BC 上で線分 BC 上でないところに点 E をそれぞれ置く.また,三角形 ADE の外接円と直線 AB,AC との交点のうち,A でないほうをそれぞれ P,Q とする.4 点 B,P,Q,C が同一円周上にあり,DB=9,BC=45,CE=5 のとき,線分 PQ の長さとしてあり得る値の総和は互いに素な正整数 a,b を用いて ab と表せるので,a+b を解答してください.