A.

JoeFight 採点者ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2025年4月2日0:00 正解数: 3 / 解答数: 5 (正答率: 60%) ギブアップ不可
この問題はコンテスト「MATHCONTEST」の問題です。

問題文

以下の条件を満たすような正整数$a,b,c$が存在するので,そのような$a,b,c$の組を$1$つ答えてください.
・ある奇素数$p$,正整数$N$が存在し,ある正整数$n$が存在して$a^n+b^n+c^n$が$p$で割り切れ,かつ任意の正整数$n$に対して$a^n+b^n+c^n$は$p^N$で割り切れない.

解答形式

$(a,b,c)$と,この組に対して条件を満たす$p$を$1$つ用いて「$(a,b,c)$、条件を満たす$p$は~~」というように解答してください.

得点について

・誤答の場合$0$点.多少の書式の違いは認めます.

・正答の場合,$p_k$を$k$番目に小さい奇素数としたときに任意の$k=1,2,...s$に対して「ある正整数$N$が存在し,ある正整数$n$が存在して$a^n+b^n+c^n$が$p_k$で割り切れ,かつ任意の正整数$n$に対して$a^n+b^n+c^n$は$p_k^N$で割り切れない.」が成り立つような$s$の参加者全体中の最大値を$x$,あなたの解答に対する値を$y$としたとき$\dfrac{100y}{x}$以上の整数の内最小のものをあなたの得点とします.ただしこの値が$0$に等しい場合は$1$点とします.

・複数の提出があった場合は最後の提出のみを判定します.


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$AP$を直径とする円$X$を描く.
また,$AB$に直交する直径$CD$について,同様に$R,S$を取り($C・R・S・D$の順),$CR$を直径とする円$X'$を描く.
ここで,円$X$の接線の内,$CD$と平行で且つ円$X'$側のものを直線$F$,円$X'$の接線の内,$AB$と平行で且つ円$X$側のものを直線$G$とする.
直線$F,G,$円$ω$に接する円$T$として考えられるものは$2$つあるが,そのうち小さい方の半径を求めよ.

解答形式

答えは整数$n,m,l$で$n√m+l$と書ける.
$n+m+l$を求めて下さい.
尚,マイナス含め,全て半角で打ち込むこと.

追記

続編(normal):https://pororocca.com/problem/2048/

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点の定義は次をチェック(https://pororocca.com/problem/2047/)
$円X,X',ω$に接する円の内,小さい方の円$T'$の半径を求めよ.

解答形式

答えは互いに素な整数$a,b,c,d$で,$\frac{a+b√c}{d}$と書けるので,$a+b+c+d$を求めて下さい.但しd>0.
尚,半角で打ち込むこと.

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$AB\lt AC$ なる三角形 $ABC$ において,外心を $O$,内心を $I$ とします.また,三角形 $ABC$ の内接円と辺 $BC$ の接点を $D$ とします.さらに,$I$ を通り直線 $BC$ に平行な直線と直線 $AD$ との交点を $P$ とすると,以下が成立しました.
・直線 $AD$ と直線 $IO$ は直交する.
・$AP=15,DP=8$
$AI$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せます.
 ところで,$\cal{AB}=a,\cal{AC}=(b\ \mathrm{mod}\ a)$ なる三角形 $\cal{ABC}$ の内心を $\cal{I}$,内接円 $\omega$ と辺 $\cal CA,AB$ との接点をそれぞれ $\cal E,F$ とします.三角形 $\cal ABE$ の外接円と三角形 $\cal ACF$ の外接円が $\omega$ 上で交わっているとき,辺 $\cal BC$ の長さを求めてください.ただし,求める長さは,正整数 $c,d$ を用いて $c-\sqrt{d}$ と表せます.ただし,$(b\ \mathrm{mod}\ a)$ で $b$ を $a$ で割った余りを表します.
 ところで,$n=d-2c-4$ とします.Furinaくんは,以下のような問題Xを作りましたが,数値設定に悩んでいます.
問題X:$XY=n,YZ=p,ZX=q$ なる三角形 $XYZ$ の内心を $ぴ$,$\angle X$ 内の傍心を $か$ とします.$ぴか$ の長さを求めてください.
 Furinaくんは,解答形式を奇麗にしたいため,$ぴか^2$ が正整数になるようにしたく,さらに $ぴか^2$ が $p$ で割り切れないようにしたいといいます.このようなことが可能な奇素数の組 $(p,q)$ すべてについて,$p+q$ の総積を求めてください.

追記 $\angle A$ 内の傍心とありましたが,これは $\angle X$ 内の傍心のことです.現在は訂正されています.

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と半角英数字で入力してください。


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