600A

問題文

$n,m \ (m\geq n)$を正整数の定数とし、多項式$f(x)$を$f(x)=x^m$で定めます。
$f(x)$を$(x-2)^n$で割った商$Q(x)$について、$Q(2)=40$が成立しました。

$(n,m)$の組としてあり得るもの全てについて、$nm$の総和を求めてください。

解答形式

正整数値を半角で入力してください。

問題文

$\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{5},\dfrac{5}{8},\dfrac{8}{13},\dfrac{13}{21},\dfrac{21}{34},\dfrac{34}{55},\dfrac{55}{89}$ の中から( $2$ 個以上の)偶数個の異なる分数を選ぶ方法 $2^{8}-1$ 通りに対し，選んだ数の積を考えるとき，それらの総和は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$4\times9$ のマス目があり，$1$ つのマスの一辺の長さは $1$ とします．最も左下の点 $A$ から出発して，「線に沿って長さ $1$ だけ右または上または左に進む」という操作を繰り返して最も右上の点 $B$ にたどり着く経路のうち同じ線分を $2$ 回以上通過しないもの全てに対し，経路の長さの総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

十万，一万，千，百，十，一の位がそれぞれ $a,b,c,d,e,f$ であるような $6$ 桁の整数を $A$ とし，十万，一万，千，百，十，一の位がそれぞれ $e,f,a,b,c,d$ であるような $6$ 桁の整数を $B$ とします．
相異なる $1$ 桁の整数 $a,b,c,d,e,f$ が $e>a>0$ を満たしながら動くとき，$A$ と $B$ の最大公約数の最大値を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$n=2\times 577$とする. このとき以下の値を素数$577$で割った余りを求めよ.
$$\sum _{k=0}^{n} {}_{n+k} \mathrm{C}_{n-k}\cdot {}_{2k} \mathrm{C}_{k}$$

解答形式

答えは正整数となるので、その値を解答してください

三角形ABCがある。初めに頂点ABCいずれかの頂点にランダムに駒を1つ置き、
操作nを繰り返し行うことで駒を移動させる。

$操作n:$$ カードがそれぞれn，n+1，n+2枚入った箱ABCを用意する。$$それぞれの箱にあたりの
カードが3，4，2枚入っている。$$
頂点Aにいる時は、まず箱BかCをランダムに選び、$$選んだ箱からカードを1枚引く。$$箱Bであたりを引くと頂点Aにそのまま、$$箱Cであたりを引くと頂点Bに、$$どちらの箱においてもハズレを引くと頂点Cに移動する。$$頂点Bにいる時は、箱Aからカードを1枚引き、$$あたりをひくと頂点Aに、$$ハズレだと頂点Cに移動する。
$$頂点Cにいるときは何もしない。$

$操作3→操作4→操作5→・・・→操作kを行った時(3 \leq k)頂点Aに駒がいる確率を求めよ。$

問題文

$m,m'\geq1,n\geq0$を満たす任意の整数$m,m',n$に対し$,\ $$A(m,n)$は
$$
A(1,n) = \frac{1}{n!},\qquad A(m+m',n) = \sum_{k=0}^{n}A(m,k)A(m',n-k)
$$を満たす。$1 \leq m \leq 100,0 \leq n \leq 100$を満たし$,\ $かつ$A(m,n)$が整数であるような整数$m,n$について$,\ $積$m\times n$の総和を求めよ。

問題文

下の図において, $\triangle ABC$ と $\triangle BDE$ は二等辺三角形です. さらに,
$$\angle ABC=\angle BDE=90^\circ,\hspace{1pc} \angle EBC=60^\circ\\
BC=32, \hspace{1pc} DB=6\sqrt{2}$$ が成立します. 線分 $AE$ の中点を $M$ とするとき, 線分 $DM$ の長さを求めてください.
ただし, $E$ は $\triangle ABC$ の内側にあります.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

問題

+1, -1, ×1, ÷1がそれぞれ書かれた4種類のカードがそれぞれ十分な枚数あります。
今、$a_{0}=1$として、毎回1枚のカードを引き、$a_{n+1}$を$a_{n}$に対してそのカードに書かれた操作をすることによって定めます。ただし、nは非負整数です。
例えば、+1、+1、×1の順でカードを引いた時、$a_{0}=1$、$a_{1}=2$、$a_{2}=3$、$a_{3}=3$となります
10回の操作後、$a_{10}=1$となるようなカードの引き方の総数を求めてください。

解答形式

非負整数のみで回答してください

$a_1+2a_2+3a_3=n$ を満たす非負整数の組 $(a_1,a_2,a_3)$ 全てについて,
$$\frac{(a_1+a_2+a_3)!}{a_1!\times a_2!\times a_3!}$$
の総和を $f(n)$ とします.
$f(n)\equiv 6 \pmod{12}$ を満たす最小の正整数 $n$ を求めてください.

問題文

$1$ 以上 $12$ 以下の整数からなる集合を $U$ とし，空でない $U$ の部分集合 $S, T$ を
$$S \cup T = U，S \cap T = \phi$$となるよう定めたところ，$S$ の元の和と $T$ の元の平方和が等しくなりました．このような集合の組 $(S, T)$ すべてに対する「$S$ の元の和」の総和を解答して下さい．

たとえば，
$$S = \{1, 2, ..., 9\}，T = \{10, 11, 12\}$$であるなら，$S$ の元の和は $1 + 2 + \cdots + 9 = 45$ と計算され，$T$ の元の平方和は $10^2 + 11^2 + 12^2 = 365$ と計算されます．

解答形式

半角英数にし、答えとなる正整数値を入力し解答して下さい．

問題

$n=1,2,3...、k=0,1,2...n-1$とします。

また、不等式$$a_1<a_2<...<a_n≦n$$

を$A_0$とし、$A_0$の$n-1$個の$<$のうち$k$個が$≦$に置き換わったものの一つを$A_k$とします。

ここで、$A_k$をみたす正整数$(a_1,a_2...a_n)$の組の総数を$N_k$とするとき、$N_0+N_1+...+N_{n-1}$を$n$を用いて表してください。

解答形式

$C$(コンビネーション記号)を用いて、$aCb$の形で表すことができるので、$a,b$の間に半角スペースを入力して、$a$ $b$を半角英数字で入力してください。
追記:ただし、$b$は$2$つの値が考えられるので、小さい方を入力してください。
例)$nC2→n$ $2,2nCn→2n$ $n$

※初めの解答では指定がなく間違い判定になった方がいたので修正させていただきました、、