600A

問題文

聖くんと光くんはトランプゲームを行うことにした.

なお,$1$ から $13$ までの数字が書かれたトランプをそれぞれ四枚ずつ用いる.

ルールは以下の通り.
- 聖くんはトランプを $1$ 枚から$3$ 枚まで引くことができる.
- 光くんは幾つかの質問をして,聖くんが引いたトランプに書かれた数字を回答する.

光くん「書かれた数字の和を教えて」
聖くん「$31$ だよ」
光くん「うーん難しいな……なにかヒントくれない？」
聖くん「トランプに書かれた数字の積を求めたら、各位の和は $2$ になったよ」

光くんが引いたトランプの目として考えられるものを全て求めなさい。

解答形式

答えが1,2,4の場合は(1,2,4)と入力して下さい.(小さい順に)

$a_1+2a_2+3a_3=n$ を満たす非負整数の組 $(a_1,a_2,a_3)$ 全てについて,
$$\frac{(a_1+a_2+a_3)!}{a_1!\times a_2!\times a_3!}$$
の総和を $f(n)$ とします.
$f(n)\equiv 6 \pmod{12}$ を満たす最小の正整数 $n$ を求めてください.

正の実数の組 $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ に対し, $a_1=b_1=1
$ および $n=1,2,3,4,5$ について以下を満たす実数の組の列 $(a_1,b_1),(a_2,b_2),\dots,(a_6,b_6)$ を考えます.
$$a_{n+1}=x_n a_n-n b_n,\quad b_{n+1}=x_n b_n$$
$b_6=100$ となるとき, $a_6$ として取りうる値には最大値が存在し, それを $M$ とします. $M$ の最小多項式 $P$ が存在するので, $P(500)$ を求めてください. ただし, $P$ の最高次の係数は $1$ とします.

問題文

SKG学院の文化祭では,1から10の目が一つずつ書かれた十面体の歪んだダイスを配布しています.このダイス十個に$1$から$10$までの番号をつけることにしました.
ここで以下のような事実が分かっています.
また$1≦n≦10$を満たす任意の整数$n$について,番号$s$がついたダイスを一回振って$n$の目が出る確率を$a_{n^s}$と書くことにします.

・$a_{1^s}:a_{2^s}…a_{9^s}:a_{10^s}=1^s:2^s\cdots9^s:10^s$を満たす.

この十個のダイスを同時に一回振る時,出目の積の期待値を求めて下さい.

解答形式

半角数字で入力して下さい.

$1$ 以上 $461$ 以下の整数からなる数列 $(a_1,a_2,\cdots,a_N)$ は以下を満たします.

• $a_1=309,a_N=461$.
• $a_n\neq 461\quad (n=2,3,\dots,N-1)$
• $n=2,3,\dots,N$ について, $(a_1+a_{n-1})a_n \equiv (1+a_1a_{n-1})\pmod{461}$

このとき, $N$ の値は一意に定まるので, $N$ の値を求めてください.
ただし, $461$ は素数であり, $2^n\equiv 1\pmod{461}$ をみたす正整数 $n$ の最小値は, $460$ であり, $3a_1\equiv 5\pmod{461}$ です.

問題文

$n=2\times 577$とする. このとき以下の値を素数$577$で割った余りを求めよ.
$$\sum _{k=0}^{n} {}_{n+k} \mathrm{C}_{n-k}\cdot {}_{2k} \mathrm{C}_{k}$$

解答形式

答えは正整数となるので、その値を解答してください

問題文

$0$ 以上 $1$ 以下の実数 $a_{1} , a_{2} , a_{3}$ について，以下の値の最大値を求めてください．

$$a_{1} + 2a_{2} +3a_{3} +4\sqrt{a_{1}(1-a_{1}) + a_{2}(1-a_{2}) + a_{3}(1-a_{3})}$$

解答形式

求める値を $M$ としたとき，$10000M$ の整数部分を解答してください．

問題文

$\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{5},\dfrac{5}{8},\dfrac{8}{13},\dfrac{13}{21},\dfrac{21}{34},\dfrac{34}{55},\dfrac{55}{89}$ の中から( $2$ 個以上の)偶数個の異なる分数を選ぶ方法 $2^{8}-1$ 通りに対し，選んだ数の積を考えるとき，それらの総和は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

3以上の正整数 $n$に対し, $$ {}_nC_1, {}_nC_2, \dots, {}_nC_{n-1} $$の $n-1$個の数から $n-2$個を選んだときのそれらの最大公約数を $d$ とする.
全ての選び方について $d$ の総和を $d(n)$とする.100以下の$n$であって, $d(n)\le100$となる $n$の個数を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

今年でSKG学院の学園祭は第$66$回を迎えます.また今年度は $2025$ 年です.

さて、$0,2,5$ のみを用いた数式の内,答えが $66$ となるようなものを一つ求めてください.

但し,演算子（$+, -, \times$ など）は自由に用いて良いものとします.

一例:

$\left( (2 \times 0 \times 2 \times 5)! + (2 \times 0 \times 2 \times 5)! \right) \times \left( 2^2 + 0^2 + 2^2 + 5^2 \right) = (1+1) \times 33 = 66$

解答形式

式と答えを省略無しで入力して下さい.また,上の例とは違うものをお願いします.

問題文

SKG学院の学園祭では,下のような$5$マス$\times5$マスの盤を用いて,次のようなゲームを行う.

・お客さんは,12個の碁石を全てマスの上に置く.
・一マスには一つまでしか碁石は置けない.
・この時スコアを次のように定める.
スコア：各行,各列について,碁石が偶数個置かれているものの個数.

スコアが10となるような,碁石の置き方の一例を答えよ.

解答形式

置かないマスは0,置くマスは1で表す.
例えば,一番右上,一番左上にのみ碁石を置く.この置き方は下のように書くものとする.

10001
00000
00000
00000
00000

またこの時,スコアは8である.

正の整数について定義され，$1$ 以上 $100$ 以下の整数値を取る関数 $f$ であり，任意の正の整数 $x,y$ について
$$f(x)+f(y)=f(x^2y)+f(4x)$$
を満たすものすべてについて，$(f(1), f(2),…, f(100))$ としてありうる組が $N$ 個存在するとき，$N$ が $2$ で割り切れる回数を求めよ．