800A

問題文

区別できる6個の箱に区別できる球を12個入れる（球が1つも入っていない箱があってもよい）．
$i$ 番目の箱に入っている玉の数を $A_i$ とする．
入れ方すべてについて，積 $A_1^2 A_2^2\cdots A_6^2$ を計算し，その和を求めよ．

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問題文

3以上の正整数 $n$に対し, $$ {}_nC_1, {}_nC_2, \dots, {}_nC_{n-1} $$の $n-1$個の数から $n-2$個を選んだときのそれらの最大公約数を $d$ とする.
全ての選び方について $d$ の総和を $d(n)$とする.100以下の$n$であって, $d(n)\le100$となる $n$の個数を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

数列 ${a_n}$ は $a_{n+1}=\dfrac{2a_n^2}{8-a_n^2}\ (n=1,2,\dots)$ を満たす．
$a_{2025}=-4$ となるような $4$ 以上の実数 $a_1$ の個数を $M$ とするとき，$M$ を素数 $2017$ で割った余りを求めよ．

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半角数字で入力してください。

問題文

(1) $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$を用いて, $\displaystyle\lim_{t\to +0}\int_{t}^{1} \log{\sin{\frac{\pi}{2}\theta}}\, d\theta = -\log{2}$を示せ(極限値の存在は認めてよい). これを用いて$\displaystyle\lim_{t\to + 0}\int_{t}^{1} \dfrac{\theta\cos{\frac{\pi}{2}\theta}}{\sin{\frac{\pi}{2}\theta}} \, d\theta$ を求めよ.

(2) $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \left(\int_{\frac{1}{n}}^{1} \sqrt[n]{\sin{\dfrac{\pi}{2}\theta}} \, d\theta\right)^{n}
$を求めよ.

解答形式

電卓などを利用することで, (1)の答えを $L_1$ とし, (2)の答えを $L_2$ とするとき, $L_1 + L_2$ の値を小数点第5位まで表示したものを回答してください. （例：0.1234567なら0.12345と解答する）

問題文

$10000$ 以下の正整数の組 $(x,y,z)$であって次を満たすようなものについて， $xyz$ の総和を素数 $2113$ で割った商を求めて下さい．

$$ 2113\sqrt{x^2+y^2+z^2}=25x+60y+2112z$$

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問題文

以下の条件に従って数列 ${a_n}$ を定義するとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^{2025} a_n$ の取りうる値の総和を求めよ．
・すべての正整数 $n$ に対し，$a_n$ は $0$ 以上の整数である．
・すべての正整数 $n$ に対し，$a_{2^n}=a_2^n$ を満たす．
・すべての正整数 $n$ に対し，$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=n+1}^{2n} a_k$ を満たす．

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半角数字で入力してください。

問題文

4x4のマスのうち1個以上に、対角線を1本ずつ引いたとき、全ての対角線がループの一部分であるものは何通りですか?
但し、「ループの一部分である」とは、
全ての対角線の端が、ちょうど1つの別の対角線の端と同位置にあることを意味します。

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半角数字で入力してください。

問題文

$(0,0),(4,0),(0,4),(4,4)$を頂点とする正方形を、頂点が全て格子点上にある三角形4つに分割する方法はいくつありますか。
回転や裏返しをして同じ形になるものも区別するものとします。

解答形式

半角数字で入力してください。

$1$ 以上 $461$ 以下の整数からなる数列 $(a_1,a_2,\cdots,a_N)$ は以下を満たします.

• $a_1=309,a_N=461$.
• $a_n\neq 461\quad (n=2,3,\dots,N-1)$
• $n=2,3,\dots,N$ について, $(a_1+a_{n-1})a_n \equiv (1+a_1a_{n-1})\pmod{461}$

このとき, $N$ の値は一意に定まるので, $N$ の値を求めてください.
ただし, $461$ は素数であり, $2^n\equiv 1\pmod{461}$ をみたす正整数 $n$ の最小値は, $460$ であり, $3a_1\equiv 5\pmod{461}$ です.

問題文

4x4のマス目のうち、0個以上のマスを選んで1つずつ地雷を置き、すべてのマスに周囲8マス(自身を含まない)の地雷の数を書きます。
地雷を置くすべてのパターンにおいて書かれている数字の総和を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

holoXのずのーである『博衣こより』はとある実験に成功し、同じholoXのメンバーである『ラプラス・ダークネス』『鷹嶺ルイ』『沙花叉クロヱ』『風真いろは』と自分自身をそれぞれ $6$ 人ずつに分身させてしまいました．
分身させた計 $30$ 人のうち $6$ 人を選び，下記の条件に沿って左右 $1$ 列に並べる方法は何通りありますか．

• 『博衣こより』と『沙花叉クロヱ』は隣り合ってはならない．（こよクロ（『博衣こより』と『沙花叉クロヱ』のユニット）は解散しているため）
• 『ラプラス・ダークネス』の左右のどちらか隣に『鷹嶺ルイ』がいないといけない（『ラプラス・ダークネス』は『鷹嶺ルイ』が近くにいないと不安になってしまうため．しかし，『鷹嶺ルイ』の隣に『ラプラス・ダークネス』がいなくても良い．）

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問題文

点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円と，その円に内接する正 $169$ 角形 $A_1A_2\cdots A_{169}$ が与えられています．この正 $169$ 角形の頂点のうち，$A_{169}$ を除いた $168$ 頂点から $3$ 点を選ぶ方法は ${}_{168}\mathrm{C}_3$ 通り考えられますが，それらすべてについて選んだ $3$ 点を頂点とする三角形の垂心と $O$ の距離の $2$ 乗の総和を解答してください．（総和の $2$ 乗ではないことに注意してください．）