ちょっと前に生えたやつ

$1$ 以上 $461$ 以下の整数からなる数列 $(a_1,a_2,\cdots,a_N)$ は以下を満たします.

• $a_1=309,a_N=461$.
• $a_n\neq 461\quad (n=2,3,\dots,N-1)$
• $n=2,3,\dots,N$ について, $(a_1+a_{n-1})a_n \equiv (1+a_1a_{n-1})\pmod{461}$

このとき, $N$ の値は一意に定まるので, $N$ の値を求めてください.
ただし, $461$ は素数であり, $2^n\equiv 1\pmod{461}$ をみたす正整数 $n$ の最小値は, $460$ であり, $3a_1\equiv 5\pmod{461}$ です.

問題文

$ $　$0$ 以上 $9$ 以下の整数 $a, b, c, d$ に対し，数列 $(x_0, x_1, ..., x_{1110})$ を次のように定めます：

• $x_0 = a$ である．
• $(x_0, x_1, ..., x_{10})$ は公差 $b$ の等差数列をなす．
• $(x_{10}, x_{11}, ..., x_{110})$ は公差 $c$ の等差数列をなす．
• $(x_{110}, x_{111}, ..., x_{1110})$ は公差 $d$ の等差数列をなす．

$x_{1110}$ のとり得る値の総和を求めて下さい．

解答形式

答えは非負整数値であることが保証されます．半角英数にし，答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい．

問題文

区別できる6個の箱に区別できる球を12個入れる（球が1つも入っていない箱があってもよい）．
$i$ 番目の箱に入っている玉の数を $A_i$ とする．
入れ方すべてについて，積 $A_1^2 A_2^2\cdots A_6^2$ を計算し，その和を求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

任意の正の整数 $m, n(m\leq n)$ について $\displaystyle |\sum_{i=m}^{n} a_i| \leq 2$
が成り立つような整数列 $a_i (i\geq 1)$ について，$(a_1, a_2, …, a_{100})$ としてありうる組は $N$ 個存在する．$N$ を素数 $97$ で割った余りを求めよ．

訂正: 「非負整数列」と誤りがありましたが，正しくは整数列です．申し訳ありません．

問題文

$gcd(x,y,z)＝1$を満たす$x,y,z$について、 $x^2+y^2, y^2+z^2, z^2+x^2 $がすべて正の整数の平方となるとき、次の問いに答えよ。
(1) $x,y,z$ のうち、奇数であるものの個数は高々1つであることを示せ。
$x $を奇数、 $y, z$ を4の倍数とする。
(2) $y=44 $のとき、上記の条件を満たす正の整数$ x, z $の組を全て求めよ。

解答形式

(1)は簡潔な証明
(2)は答えだけで構いません

設問8

正の数からなる数列 ${a_n}$ が $a_1 > 0$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n^2}$ ($n \ge 1$) を満たすとき、極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\sqrt[3]{3n}}$ を求めよ。

解答形式

問題

$p$を$3$より大きい素数とする
$S=\sum_{k=1}^{p-2} k \cdot (k!) \cdot ((p-k-1)!)$　
を$p$で割った余りを求めよ。

解答形式

解答は既約分数で表せるので、
1行目に分子、
2行目に分母
を半角で書いてください
分母は1になる場合も書いてください

問題文

△ABCについて、Aから直線BCに下ろした垂足をD、点Bから直線CAに下ろした垂足をE、△ABCの垂心をHとしたとき以下が成立しました。$$AH=3,AE=2,AC=5$$△AHB:△HCDは互いに素な自然数a,bを用いてa:bと表せるのでa+bの値を解答してください。

解答形式

半角数字を入力してください。

$N=9000^2\times 9001$ とし, 以下の条件を満たす整数の組の列 $(x_0,y_0,z_0), (x_1,y_1,z_1) ,\dots,(x_{N},y_{N},z_{N})$ を良い列 と呼びます.

• $(x_0,y_0,z_0)=(x_{N},y_{N},z_{N})=(0,0,0)$.
• $n=1,2,\dots,N$ について, $(x_n-x_{n-1},y_n-y_{n-1},z_n-z_{n-1})$ は $(1,-1,0)$ の $6$ 通りの並べ替えまたは $(0,0,0)$ のいずれかに等しい.

このとき良い列について $(x_i,y_i,z_i)=(x_{i-1},y_{i-1},z_{i-1})$ を満たす $i\;(i=1,2,\dots,N)$ の個数を $k$ としたとき $2^k$ をその列の 良さ とします. 良い列すべてについてその良さの総和を $S$ とします. このとき $S$ を素数 $8999$ で割った余りを求めてください.

正の整数について定義され，$1$ 以上 $100$ 以下の整数値を取る関数 $f$ であり，任意の正の整数 $x,y$ について
$$f(x)+f(y)=f(x^2y)+f(4x)$$
を満たすものすべてについて，$(f(1), f(2),…, f(100))$ としてありうる組が $N$ 個存在するとき，$N$ が $2$ で割り切れる回数を求めよ．

$(i,j) (0\leq i,j\leq 2)$ の $9$ 個の格子点がある．いま，この中から $n$ 点をうちどの $3$ 点も直角三角形を成さないように選ぶことができる最大の正の整数 $n$ を $N$ とし，$n=N$ のときの条件を満たす選び方を $M$ 通りとするとき，$M^N$ を解答せよ．

$\angle B=90^{\circ}$ なる直角三角形 $ABC$ について，線分 $AC$ の中点を $M$ とし，内部に $PM\parallel BC$ なるように点 $P$ を取り，三角形 $BPM$ の外接円と三角形 $ABC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とする．$AP=5, PM=8, MA=10$ が成り立っているとき，線分 $PX$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．