ちょっと前に生えたやつ

kinonon 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2025年5月11日0:51 正解数: 11 / 解答数: 20 (正答率: 55.0%) ギブアップ不可

問題文

$n=2\times 577$とする. このとき以下の値を素数$577$で割った余りを求めよ.
$$\sum _{k=0}^{n} {}_{n+k} \mathrm{C}_{n-k}\cdot {}_{2k} \mathrm{C}_{k}$$

解答形式

答えは正整数となるので、その値を解答してください


スポンサーリンク

解答提出

この問題は自動ジャッジの問題です。 解答形式が指定されていればそれにしたがって解答してください。

Discordでログイン Sign in with Google パスワードでログイン

ログインすると? ログインすると、解答・ギブアップをする他に、問題を投稿したり、ランキングで競うことができます。

または


おすすめ問題

この問題を解いた人はこんな問題も解いています

400N

MARTH 自動ジャッジ 難易度:
24日前

7

$1$ 以上 $461$ 以下の整数からなる数列 $(a_1,a_2,\cdots,a_N)$ は以下を満たします.

  • $a_1=309,a_N=461$.
  • $a_n\neq 461\quad (n=2,3,\dots,N-1)$
  • $n=2,3,\dots,N$ について, $(a_1+a_{n-1})a_n \equiv (1+a_1a_{n-1})\pmod{461}$

このとき, $N$ の値は一意に定まるので, $N$ の値を求めてください.
ただし, $461$ は素数であり, $2^n\equiv 1\pmod{461}$ をみたす正整数 $n$ の最小値は, $460$ であり, $3a_1\equiv 5\pmod{461}$ です.

第8問

sulippa 採点者ジャッジ 難易度:
20日前

2

設問8

正の数からなる数列 ${a_n}$ が $a_1 > 0$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n^2}$ ($n \ge 1$) を満たすとき、極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\sqrt[3]{3n}}$ を求めよ。


解答形式

階乗のシグマと合同式

sulippa 自動ジャッジ 難易度:
26日前

2

問題

$p$を$3$より大きい素数とする
$S=\sum_{k=1}^{p-2} k \cdot (k!) \cdot ((p-k-1)!)$ 
を$p$で割った余りを求めよ。

解答形式

解答は既約分数で表せるので、
1行目に分子、
2行目に分母
を半角で書いてください
分母は1になる場合も書いてください

第3問

sulippa 採点者ジャッジ 難易度:
17日前

2

問題文

$gcd(x,y,z)=1$を満たす$x,y,z$について、 $x^2+y^2, y^2+z^2, z^2+x^2 $がすべて正の整数の平方となるとき、次の問いに答えよ。
(1) $x,y,z$ のうち、奇数であるものの個数は高々1つであることを示せ。
$x $を奇数、 $y, z$ を4の倍数とする。
(2) $y=44 $のとき、上記の条件を満たす正の整数$ x, z $の組を全て求めよ。

解答形式

(1)は簡潔な証明
(2)は答えだけで構いません

PDC005 (E)

pomodor_ap 自動ジャッジ 難易度:
18日前

40

正の整数について定義され,$1$ 以上 $100$ 以下の整数値を取る関数 $f$ であり,任意の正の整数 $x,y$ について
$$f(x)+f(y)=f(x^2y)+f(4x)$$
を満たすものすべてについて,$(f(1), f(2),…, f(100))$ としてありうる組が $N$ 個存在するとき,$N$ が $2$ で割り切れる回数を求めよ.

17月前

3

問題文

$AB=20,CD=23,AD=12,BC=31$ を満たす四角形 $ABCD$ について,三角形 $ABD$ の内心を $I_1$ とし,三角形 $BCD$ の内心を $I_2$ とします.
$I_1I_2$ と $BD$ の交点を $X$ とすると $DX=\dfrac{12}{31}$ となったとき,$BX$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ の値を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

除夜コン2023予選N3

shoko_math 自動ジャッジ 難易度:
17月前

5

問題文

$2023$ や $1231$ のように $2$ と $3$ がこの順に連続して表れる $4$ 桁の正の整数(すなわち,$1000$ 以上 $9999$ 以下の整数)の総和を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

整数問題 解説あり

sulippa 自動ジャッジ 難易度:
30日前

3

問題文

$p$ を $p \ge 5$ なる素数とする。集合 $G_p = {1, 2, \dots, p-1}$ の部分集合 $S$ が自己双対的であるとは、
$$a \in S \implies a^{-1} \pmod p \in S \quad \text{かつ} \quad a \in S \implies p-a \in S$$
が全ての $a \in S$ に対して成り立つことと定義する(ここで $a^{-1}$ は $\pmod p$ における $a$ の乗法逆元)。

$N_p$ を、$G_p$ の自己双対的な部分集合 $S$ の総数とする(空集合 $\emptyset$ も含む)。

$N_p = 32$ となるような素数 $p$ ($p \ge 5$) をすべて求めよ。


解答形式

解を半角1スペースおきに小さい順に並べてください

除夜コン2023予選C4

shoko_math 自動ジャッジ 難易度:
17月前

5

問題文

$8\times8$ のマス目に対し,上から $1$ 行目かつ左から $1$ 列目にあるマス目には黒を表にしてオセロの駒を置き, 残りの $63$ マスには隣り合うマスに置かれた2つの駒が同じ色を表にして置かれないようにオセロの駒を $1$ つずつ置きました.
このとき,「行もしくは列を $1$ つ選び,そこに置かれた $8$ つの駒を全て同時に裏返す」という操作を繰り返したところ,すべての駒が黒を表にして置かれました.
このときの操作回数としてあり得る最小の値を $m$ とおくとき,操作回数が $m$ であって,最終的にすべての駒が黒を表にして置かれるような操作方法の総数を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

No.06 二変数の整数解

Prime-Quest 自動ジャッジ 難易度:
16月前

3

問題

$(1)$ 方程式 $12x^2+4xy-21y^2=32x-32y+3$ の整数解 $(x,y)$ を求めよ.
$(2)$ 不等式 $z^2\lt a(a+1)z-a^3$ の奇数解 $z$ が二つとなる実数 $a$ の範囲を求めよ.

解答形式

$a^{xy}$ がとりうる整数の和を半角数字で入力してください.

除夜コン2023本選A2

shoko_math 自動ジャッジ 難易度:
17月前

4

問題文

正の実数 $a,b,c,d$ が $\Bigg\{\begin{aligned}
a+\dfrac{b}{4}+\dfrac{c}{9}+\dfrac{d}{16}=25 \\
\dfrac{49}{a}+\dfrac{64}{b}+\dfrac{81}{c}+\dfrac{100}{d}=36
\end{aligned}$ の $2$ 式を満たすとき,$d$ の最小値は最大公約数が $1$ の正の整数 $p,q,r$ を用いて $\dfrac{p-\sqrt{q}}{r}$ と表されるので,$p+q+r$ の値を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

除夜コン2023問本選C1

shoko_math 自動ジャッジ 難易度:
17月前

4

問題文

お笑いコンビ「さや香」の新山くんは以下のような「見せ算」という演算「$*$」を考案しました.

[見せ算の計算法]
$0$ 以上 $4$ 以下の整数 $a,b$ に対し,$a*b=\Bigg{\{}\begin{aligned}
0\ (a=bのとき) \\
a\ (a>bのとき) \\
b\ (a<bのとき)
\end{aligned}$

とし,$a*b$ を「 $a$ と $b$ の『眼』」と呼ぶ.

$0,1,2,3,4$ を $6$ 個ずつ左右一列に並べて得られる $M=\dfrac{30!}{({6!})^5}$ 通りの数列のうち,左に位置する $2$ 数を消し,その $2$ 数の『眼』をこの数列の左に書き込むという操作を $29$ 回繰り返した時,最後に $3$ が残るような $30$ 個の数の並べ方の総数を $N$ とします.このとき,$\dfrac{N}{M}$ は互いに素な正の整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{q}{p}$ と表せるので,$p+q$ の値を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.