OMC不採用問題2

問題文

周長が $10^5$ であり全ての辺の長さが整数であるような三角形の内接円の面積の総和を求めてください。

厳密な問題文
$a+b+c=10^5$ が成り立ち尚且つ各辺の長さが $a,b,c$ である三角形が存在するような順序付いた正整数の組 $(a,b,c)$ 全てについて各辺の長さが $a,b,c$ であるような三角形の内接円の面積の総和を求めてください。

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\frac{a}{b}\pi$ と表せるので、$a+b$ の値を解答してください。

問題文

冨安四発太鼓保存会は冨安四発太鼓の競技化を進めており、全ての曲の長さは $1$ 単位時間と定められました。
冨安四発太鼓のスコアは次のように定められています。
曲が開始した時刻を $0$ とし、太鼓が叩かれた時刻を小さい順に $t_1,t_2,t_3,t_4$ とした時に、スコアは $t_1^{39}t_2^{71}t_3^{94}t_4^{104}$ と定められます。
フニャオ君は曲の中で太鼓をランダムに $4$ 回叩きます。正確には区間 $[0,1]$ から実数を一様ランダムに選ぶという行為を独立に $4$ 回行い選ばれた実数を小さい順に並べ$t_1,t_2,t_3,t_4$ とした時、時刻 $t_1,t_2,t_3,t_4$ に太鼓を叩きます。
この時、フニャオ君のスコアの期待値を求めてください。

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ の値を求めてください。

問題文

集合 $\{ 1,2,...,20 \}$ を $X$ とおきます。
全射である関数 $f:X \to X$ であって以下の条件を満たすものはいくつありますか？
$n< 7$ を満たす正整数全てについて、ある正整数 $k$ が存在して $f^k(n)>11$ が成立する。
補足: $f^n$ は $f$ の $n$ 回合成です。

解答形式

非負整数で解答してください。

問題文

すべての正整数 $n$ に対して $a_{n+1}=a_{n}+a_{n+2}$ を満たす数列 $\{a_n\}$ に対して、次の式が成立する。

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{2^n}=1998, \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{3n}}{3^n}=1106$$

この時、$|a_{1998}a_{1106}|$を求めよ。

解答形式

答えをそのまま入力しなさい。

注：この問題は全完防止用問題です。この問題を解くには高度な知識が必要かもしれません。

問題文

Aの箱には白い玉が $1500$ 個 黒い玉が $500$ 個入っている。
Bの箱には白い玉が $1000$ 個 黒い玉が $1000$ 個入っている。
Cの箱には白い玉が $800$ 個 黒い玉が $1200$ 個入っている。
次のような操作を順に行う。
(1) Aの箱からランダムにボールを一つ取り出す。
(2) Bの箱からランダムにボールを一つ取り出す。
(3) Cの箱からランダムにボールを一つ取り出す。
(4) A,B,Cそれぞれの箱に残っている黒い玉の個数を $a,b,c$ とした時、$a>b$ または $b>c$ が成立した場合は操作をここで終了する。
(5) 箱に玉が一つも残っていない場合は操作をここで終了する。
(6) 操作が終了しなかった場合 (1) に戻る(取り出したボールは箱には戻さない)
操作が終了した時、箱に玉が一つも残っていない確率を求めてください。

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を解答してください。

問題文

$10^{12}$ 以下の正整数であって，$9$ の倍数または $10$ 進法表記した時どこかの桁に $9$ が現れる数はいくつありますか？

解答形式

非負整数で入力してください。

問題文

$\mathbb{F}_7$を位数7の有限体とする。このとき$\mathbb{F}_7$係数の3次多項式であって既約かつモニックであるものはいくつ存在するか？

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

非常に細長いガムテープがあります。このガムテープは $M$ 個の区画に分かれています。ここで、$M$ は非常に大きい整数です。

はじめ、ガムテープには何も描かれていません。じーえむ君は $M$ 回以下の操作を行い、絵を描きます。

• まだ何も塗られていない隣接する二つの区画を一様ランダムに選び、黒く塗る。そのような区画が存在しない場合は何もしない。

操作が終わった後黒く塗られている区画の数を $X$ とします。
$M$ が限りなく大きくなるときの $\frac{X}{M}$ の期待値の極限を求めてください。

解答形式

答えとなる値を $p$ として $10^{10}p$ の整数部分を求めてください。
なお、以下の定数表を参考にしても構いません。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%AE%9A%E6%95%B0

問題文

$f_0=0,f_1=1,f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$で定義された数列において、$f_p$が$p$の倍数となるような素数$p$を全て求めてください。

解答形式

計算式全てを書く必要はないので論証の概略と答えを書いてください。

問題文

表面積が$\displaystyle n \sin \frac{2\pi}{n}$である正$n$角錐の体積の最大値を$V_n$とする。極限値
$$\begin{eqnarray}
A &=& \lim_{n \to \infty} V_n \\
B &=& \lim_{n \to \infty} n^2 (V_n -A )
\end{eqnarray}$$を求めよ。

解答形式

$A,B$は
$$
A = \fboxア \frac{\pi^\fboxイ}{\fboxウ} , \qquad B = \fboxエ \frac{\fboxオ \pi^\fboxカ}{\fboxキ}
$$となるので文字列「$\fboxア\fboxイ\fboxウ\fboxエ\fboxオ\fboxカ\fboxキ$」をすべて半角で1行目に答えてください。ただし$\fboxア\fboxエ$は$\texttt{+-}$のどちらか、$\fboxイ\fboxウ\fboxオ\fboxカ\fboxキ$は自然数であり、$\fboxオ$と$\fboxキ$は互いに素です。例えば$\displaystyle A=+\frac{\pi^{2}}{3},B=-\frac{5\pi^{7}}{11}$としたいときは+23-5711と回答してください。計算して-5688とはしないでください。

間違えて公開してしまい、回答を一件いただいているので、泣く泣くボツ問としてここに供養します。

$\min(f(x))$を関数$f(x)$の$-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}$における最小値とする。
以下の値を求めよ。
$$\int^{16}_0\min(\tan^2{x}+a\cos{x})da$$
ただし$a$と$x$は独立している。

問題文

数列 ${a_n}$ ($n \ge 0$) が、初期値 $a_0 = 3$ および以下の漸化式で定義されるとする。
$$a_{n+1} = a_n^2 - 2 \quad (n \ge 0)$$
この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。
ただし、黄金比を$Φ$とする。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。