連立方程式だよ

udonoisi 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2025年6月15日18:18 正解数: 5 / 解答数: 6 (正答率: 83.3%) ギブアップ数: 0
連立方程式

問題文

$11$ 個の実数 $A_0 , A_1 , \cdots , A_{10} $ が $n=0 , 1 , \cdots , 9$ に対して$$\sum_{k=0}^{10}{A_kk^n}=0$$を満たします. $A_0=1$ のとき, $\sum_{k=0}^{10}{A_kk^{10}}$ の値を求めてください.
ただし, $0^0=1$とします.

解答形式

非負整数を答えてください.


ヒント1

組み合わせ

ヒント2

実験をするといいかも


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$$
\begin{cases}
x^2+y^2=1\\
2x^3+2y^3=1
\end{cases}
$$
を満たしているとき,$x+y$ のとりうる値をすべて求めよ.

解答形式

解答に$sinθ,cosθ$を含む場合は,$cosθ(0<θ<π)$に統一し,記入例にしたがって全て$半角$で解答してください.なお,度数法で解答すると不正解となるので,弧度法を用いてください.
小数などを用いた近似値での解答は不正解となります.
複数の解答がある場合は小さい値から順に上から改行してください.

記入例
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3cos(π/3)

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例えば,$1, 1, 1, 1, \ldots$ や $1, 3, 5, 4, \ldots$ は条件を満たします.このような数列は $N$ 個あります.$N$ を素数 $677$ で割った余りを求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

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・$(a_{i},a_{i+1})=(1,3)$ となるものがちょうど $132$ 個
・$(a_{i},a_{i+1})=(2,1)$ となるものがちょうど $213$ 個
・$(a_{i},a_{i+1})=(3,2)$ となるものがちょうど $321$ 個
・$(a_{i},a_{i+1},a_{i+2})=(1,2,3)$ となるものがちょうど $123$ 個

ずつ存在します.この数列としてありうるものの数が $3$ で割れる最大の回数を求めてください.(電卓の使用を推奨します.)

解答形式

半角数字で解答してください.

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$Z = r^p + p^r$

$N = X^p + Y^q + Z^r$

このとき、$N$を$105$で割った余りを求めよ。

解答形式

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\begin{aligned}
&a_0=0,\quad a_1 = 1,\quad a_{n+2} = 2a_{n+1} +2a_n & (n=0,1,\dots) \\
&b_0=0, \quad b_1 = 1,\quad b_{n+2} = 2b_{n+1} +(p+2)b_n & (n=0,1,\dots)
\end{aligned}

(1) $a_n,b_n$をそれぞれ$n$で表せ.
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解答形式

(2) の解答を入力してください((1)は解答参照)

備考

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解答形式

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半角で入力してください。
また、必要であればe,πを用いてください。