KOTAKE杯007(S)

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2025年8月1日10:00 正解数: 11 / 解答数: 19 (正答率: 57.9%) ギブアップ不可
この問題はコンテスト「KOTAKE杯007」の問題です。

全 19 件

回答日時 問題 解答者 結果
2025年8月11日1:25 KOTAKE杯007(S) shoko_math
正解
2025年8月8日20:42 KOTAKE杯007(S) random
不正解
2025年8月7日21:14 KOTAKE杯007(S) ISP
不正解
2025年8月7日20:43 KOTAKE杯007(S) natsuneko
正解
2025年8月7日20:42 KOTAKE杯007(S) natsuneko
不正解
2025年8月7日1:40 KOTAKE杯007(S) epsug
正解
2025年8月6日18:44 KOTAKE杯007(S) Weskdohn
不正解
2025年8月5日21:14 KOTAKE杯007(S) random
不正解
2025年8月5日12:47 KOTAKE杯007(S) ISP
不正解
2025年8月5日12:47 KOTAKE杯007(S) ISP
不正解
2025年8月5日12:46 KOTAKE杯007(S) ISP
不正解
2025年8月2日21:34 KOTAKE杯007(S) nmoon
正解
2025年8月1日19:47 KOTAKE杯007(S) miq_39
正解
2025年8月1日18:33 KOTAKE杯007(S) kitaaa
正解
2025年8月1日11:52 KOTAKE杯007(S) 34tar0
正解
2025年8月1日11:31 KOTAKE杯007(S) wasab1
正解
2025年8月1日10:36 KOTAKE杯007(S) pomodor_ap
正解
2025年7月30日23:39 KOTAKE杯007(S) Uirou
正解
2025年7月27日23:18 KOTAKE杯007(S) lamenta
正解

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KOTAKE杯007(T)

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問題文

$AB<AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり,外接円 $\Omega$ の中心を $O$, $\Omega$ の $A$ を含まない方の弧 $BC$ の中点を $M$ とします.$\Omega$ の点 $B,C$ それぞれにおける接線の交点を $D$ とし,線分 $AD$ と $\Omega$ の交点のうち $A$でない方を $P$ とし,点 $P$ を通り直線 $BC$ に垂直な直線と線分 $AM$ の交点を $Q$ とすると以下が成立しました.
$$AQ=8,\quad OQ=3,\quad \angle PMO=\angle QOM$$
このとき線分 $BM$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$と表されるので $a+b$ を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

KOTAKE杯007(R)

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問題文

三角形 $ABC$ があり,内心を $I$ とします.直線 $BI,AC$ の交点を $D$ とし,端点を除く線分 $BC$ 上に $4$ 点 $ABDE$ が共円となるように点 $E$ をとると,直線 $AI,DE$ は三角形 $ABC$ の外接円上で交わり,以下が成立しました.
$$AD=2,\quad BE=3$$
このとき線分 $AC$ の長さは.正の整数 $a,b,c$ を用いて$\frac{b+\sqrt{c}}{a} $ と表されるので $a+b+c$ を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

KOTAKE杯007(L)

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23

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり,点$A,B,C$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします.$AD,EF$ の交点を $P$ とすると,以下が成立しました.
$$DE=37,\quad EF=40,\quad AP:PD=5:6$$
このとき線分 $DF$ の長さを解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

KOTAKE杯007(O)

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25

問題文

$AB<AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり,点$A,B,C$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします.半直線 $EF$ と直線 $BC$ の交点を $P$ とすれば,
$$AC=BP,\quad BD=60,\quad CD=92$$
が成立したので線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

KOTAKE杯007(N)

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20

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり重心を $G$,垂心を $H$ とします.線分 $GH$ の中点を $M$ とすれば,直線 $AM$ は $ \angle BAC$ を二等分し,

$$BC=30,\quad CH=25$$
が成立しました.このとき線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

KOTAKE杯007(P)

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19

問題文

$\angle A$ が鈍角の二等辺三角形 $ABC$ があり,外接円を $\Omega$ とします.$\Omega$ の点 $C$ を含まない弧 $AB$ 上に点 $P$ をとり,直線 $BP$ と点 $C$ における $\Omega$ の接線の交点を $Q$ とし,直線 $AP$ と線分 $CQ$ の交点を $R$ とすると以下が成立しました.
$$BC=40,\quad BP=14,\quad QR=9$$
このとき線分 $AP$ の長さの $2$ 乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください

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問題文

三角形 $ABC$ があり内心を $I$ とし,辺 $BC$ の中点を $M$ とすると,
$$AB:AC=3:5,\quad AI=IM=20$$
が成立したので線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

KOTAKE杯007(Q)

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問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり,$A$ から $BC$ におろした垂線の足を $H$ とします.三角形 $ABC$ の外接円の,$C$ を含まない方の弧 $AB$ 上に点 $P$ をとれば,
$$\angle APH=90^\circ ,\quad BH=3,\quad CH=4,\quad AP=10$$
が成立したので線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

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問題文

$\angle A$ が鈍角である内接四角形 $ABCD$ があり,三角形 $ABD$ の内接円と $AB,AD$ の接点をそれぞれ $P,Q$ とし,三角形 $BCD$ の内接円と $BC,CD$ の接点をそれぞれ $R,S$ とします.三角形 $ABD$ における $\angle A$ 内の傍接円と直線 $AB$ の接点を $T$ とすると,以下が成立しました.
$$BT=BR,\quad PR=6,\quad QS=7,\quad BD=9$$
このとき三角形 $BPR$ の面積の $2$ 乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

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問題文

$AB<AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり, $A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とし,線分 $AH$ 上に $\angle ABP = \angle ACP$ を満たす点 $P$ をとります.また,線分 $BC$ と三角形 $ACP$ の外接円の交点のうち $C$ でないものを $D$ とし,直線 $BP,AD$ の交点を $E$ とすれば,
$$BP=CD=5,\quad PE=3$$
が成立したので三角形 $ABC$ の面積を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

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問題文

三角形 $ABC$ があり,内心を $I$ とし直線 $AI$ と $BC$ の交点を $D$ とすると三角形 $BDI$ の外接円は三角形 $ABC$ の外接円に点 $B$ で内接し,以下が成立しました.
$$BD=12,\quad BI=10$$
このとき線分 $AC$ の長さを解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

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問題文

凸五角形 $ABCDE$ は以下を満たします.
$$
\begin{cases}
AB=BC=CD=DE \\\\
2\angle{BAE} = \angle{CBA}\\\\
2\angle{ECA} = \angle{AEC} = \angle{BAE} + 30^{\circ}
\end{cases}
$$
このとき,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\angle{EDB}=\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg)^{\circ}$と表すことができるので,$a+b$ を答えてください.

解答形式

半角数字で解答してください.