柏陽祭2025 (D)

$AB>AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の外接円を$Ω$, 辺$BC$の中点を$M$とします. 点$B,C$から対辺に下した垂線の足をそれぞれ$E, F$とし, 直線$EF$と$Ω$の交点を$P, Q$とします. ただし, 四点$P, E, F, Q$はこの順に並ぶものとします. 円$MEF$と直線$MQ$の交点を$L(\neq M)$としたところ直線$AL$と直線$PM$が$Ω$上で交わりました.
$$
QL=PM=20
$$

が成立するとき, 線分$AP$の長さを二乗した値を求めてください.

半径が$14$の円$Ω$に内接し, $AB>AC$を満たす鋭角三角形$ABC$について, 内心を$I$, $A$傍心を$J$とする. 辺$AJ$の垂直二等分線と$Ω$の交点の内, 点$C$側にあるものを$D$, $B$側にあるものを$E$とし, 三角形$JBC$の外接円と三角形$JDE$の外接円の交点を$X(\neq J)$としたところ, 以下が成り立った.
$$
CX:CD=8:3,　AI=10
$$

辺$BC$と辺$DE$の交点を$F$としたときの線分$XF$の長さの二乗を求めてください.

問題文

ある三角形は内接円の半径が $9$、外接円の半径が $25$、傍接円の一つの半径が $\sqrt{2025}$ です。この三角形の面積を求めてください

解答形式

解答は正の整数値になるので、その値を解答してください。

辺$AB$と辺$BC$と辺$CD$の長さが等しい凸四角形$ABCD$について, 辺$BC$と辺$AD$の中点をそれぞれ$M$, $N$としたところ, 以下が成り立ちました.
$$
\angle BAD=75°,　\angle CDA=45°,　MN=3
$$

このとき, 四角形$ABCD$の面積は正整数$a, b$を用いて$a+\sqrt{b}$ と表すことができるので, $a+b$ の値を求めてください.

鋭角三角形$ABC$について, 外接円を$Ω$, 垂心を$H$, 辺$BC$の中点を$M$, 点$H$から直線$AM$に下ろした垂線の足を$K$とします. 直線$BH, CH$と$Ω$の交点をそれぞれ$E(\neq B), F(\neq C)$とし, 線分$EF$の中点を$N$とします. さらに, 辺$AC$上(端点を除く)に点$P$をとると以下が成立しました.
$$
\triangle FNP \backsim \triangle AMC,　\angle PFA=\angle BAM,　BK=5
$$

このとき, 線分$PE$の長さの二乗としてありうる値の総和を求めてください.

正三角形$ABC, DEF$について, 三点$A, F, E$がこの順に同一直線上に並んでいます. また, 線分$AD$と線分$BE$の交点が存在したのでこれを$X$とすると三点$F, C, X$はこの順に同一直線上に並びました. 直線$BC$と直線$AE$の交点を$Y$としたとき, 以下が成立しました.
$$
\angle CAE=\angle BEA,　AD=AY,　DX=1
$$
このとき, 線分$AD$の長さの値の最小多項式を$f$とします. $f(5)$の値を求めてください.

最小多項式とは

$m$を根にもつ有理数係数多項式のうち, 次数が最小であり, かつ最高次の係数が$1$であるものを(このようなものは一意に存在します), $m$の最小多項式とよびます.

問題文

$AB=10,BC=21,CA=17$ をみたす三角形 $ABC$ の内心を $I$ とします。辺 $AB$ 上に点 $D$ をとると、直線 $DI$ が三角形 $ABC$ の面積を $2$ 等分し、さらに辺 $BC$ と交わりました。このときの線分 $AD$ の長さを求めてください。

解答形式

$AD$ の長さは正整数$a,b$を用いて $\sqrt{a}-b$ と表されるので、$a+b$ を解答してください

外接円を$\Omega$, 内心を$I$とする鋭角三角形$ABC$について, 円$Γ$は円$\Omega$に内接し, 辺$AC$, 辺$BC$にも接しています. 円$\Gamma$と円$\Omega$, 辺$AC$との接点をそれぞれ$T, D$とし, 直線$TD$と円$\Omega$の交点を$M(\neq T)$, 直線$AI$との交点を$F$, 直線$TI$と直線$AB$, 円$MDI$の交点をそれぞれ$G$, $K(\neq I)$とします. さらに, 円$MDI$内に点$H$をとったところ, これは円$TAK$上にありました. また, 円$GHK$と直線$MK$の交点を$J(\neq K)$とすると, 直線$GJ$, 直線$AK$, 円$TAD$が一点で交わったのでこれを$L$とします.
$$
FG=FH,　MJ:KJ=1:3,　LJ=30
$$
が成立するとき, 線分$IK$の長さを二乗した値を求めてください.

問題文

ある三角形の内心を中心とする半径 $2024$ の円が，その三角形の頂点のうちの一つと，その三角形の外心，垂心を通りました．この三角形の外接円の半径としてあり得る値の総和の整数部分を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

1辺が10の正三角形ABCがある.
線分AB上に $AD=3$を満たす点D, 線分BC上に $BE=3$を満たす点Eがある.
線分DEの垂直二等分線と直線ACの交点を $F$とし, 三角形ABCの外接円と交わる点のうち, 直線ABに関して $C$ と反対側にある点を $K$ とする.
直線EFと直線CKの交点を $L$とするとき, $EL$の長さを求めよ. なお, 答えは $\sqrt{a}-b$で表されるため, $a+b$を求めよ.

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$a,b$ を $a \le b$ を満たす正の整数とします。
$2025\times 2026$ のマス目があります。ここに $a\times b$ のタイルを何枚か置くことでマス目を隙間なく敷き詰めることが出来ました。
このような $(a,b)$ の組はいくつありますか？

追記 タイルは回転してかまいません。

解答形式

半角数字で解答してください

問題文

三角形$ABC$において，$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし，垂心を$H$とします.三角形$DEF$の外接円と三角形$HBC$の外接円の交点を$P,Q$とし，$EF$の中点を$M$とします.直線$HM$と直線$PQ$の交点を$R$とすると，$DR$は$AB$の中点を通り，$BC$の中点を$N$とすると，$$ND＝2　CE＝5$$が成立しました.このとき，$AB$の長さの二乗は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表せるので，$a +b$の値を解答して下さい.

解答形式

半角で解答して下さい.