関数方程式　解説修正版

問題文

$n$ を自然数とする。 $n^5+n+1$ が互いに異なる $4$ つの素数の積で表されるような $n$ のうち最小のものを答えよ。

問題文

₁₃₅C₃₀を7で割った余りを求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

$1^{2024}+2^{2024}+3^{2024}+4^{2024}+5^{2024}+…+2023^{2024}+2024^{2024}$を$17$で割った余りを求めよ。

元の問題を書き換えて別の問題にしました。前の問題は解いていただけなかったので別の問題に変えました。

解答形式

余りを自然数でお答えください

63999271を素因数分解した時に出てくる素因数全ての和を求めなさい。

例:35の時
　5+7=12と解答。

問題文

正の実数 $x,y,z$ が $x+y+z=xyz$ を満たしているとき,

$$\dfrac{x}{1+x^2}+ \dfrac{y}{1+y^2}+ \dfrac{z}{1+z^2}$$

の最大値を求めてください.

解答形式

求める値は互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて, $\dfrac{a \sqrt{b}}{c}$ と表せるから, $a+b+c$ を解答してください.

問題文

正整数列 $A_{n}$ を以下のように定義する
$$
1個の2 以上の正整数を要素に持ち，それらの総積が n に等しい
$$　　この時 $A_{2^{100}}$ としてありうる数列すべてについて，その要素の
総和を $97$ で割った余りを答えてください。
　　ただし，並び替えて一致するものも別々として数える。
例えば $A_{8}$ としてありうるものは $\lbrace8\rbrace,\lbrace2,4\rbrace, \lbrace4,2\rbrace, \lbrace2,2,2\rbrace$ でありその要素の総和は $8+2+4+4+2+2+2+2=26$ である。

解答形式

正整数で答えてください

第4問

$θ$を媒介変数とし、次のように表される曲線$C$を考える。$$\begin{cases}x=θ-sinθ\\y=1-cosθ\end{cases}$$
$0≦θ≦2π$として、この曲線$C$の長さ$L$を求めよ。

第7問

次の定積分を求めよ。$$\int_{0}^{\frac{π}{2}}{\frac{dx}{1+tanx}}\quad$$

問題文

$86^{48}-64$ を $864$ で割った余りを求めよ。

問題文

ある正整数 $n$ が今年の数であるとは $n=a^b-(a-1)^b$ とあらわせるような正整数の組 $(a,b)$ が存在しない数であるとします.例えば$2026$は今年の数です.
このとき,$2026$以下の今年の数はいくつありますか.

問題文

三角形$ABC$の内心を$I$，直線$AI$と$BC$の交点を$D$とすると$AI=CI=CD=6 $であった. このとき$AC$の長さは正の整数$a,b $を用いて$ \sqrt{a} +b$と表せるので, $a+b$を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題

$実数全体で定義され、実数値を取る定数でない関数f(x)がある。$
$この関数が任意の実数x,yについて恒等式$
$$f(x^2+y)＝f(kx^2+2y)-f(3x^2)$$
$を満たすとき、定数kの値を求めよ。$