$$問 題$$ $実数全体で定義され、実数値を取る定数でない関数f(x)がある。$ $この関数が任意の実数x,yに対して恒等式$ $$f(x ^2+y)=f(kx ^2+2y)−f(3x ^2)$$ $を満たすとき、定数kの値を求めよ。$
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整数 $x$ と素数 $p$ が、以下の連立合同式を満たす。
$x \equiv p \pmod{9797}$ $x \equiv 11p + 69 \pmod{9991}$
この条件を満たす最小の素数 $p$ を求めよ。
半角左詰め
$実数全体で定義され、実数値を取る定数でない関数f(x)がある。$ $この関数が任意の実数x,yについて恒等式$ $$f(x^2+y)=f(kx^2+2y)-f(3x^2)$$ $を満たすとき、定数kの値を求めよ。$
$3^{2025}$を $11$ で割った余りを求めよ。
正整数値に対して定義され正整数値をとる関数 $f(x)$ は,任意の正整数 $a, b, c$ において,以下を満たしました. $$ f(a)+f(b)+f(c)=f(abc)+2 $$また,$f(15)=15$ を満たすとき,$f(2025)$ としてあり得る値の総和を求めてください.
半角数字で解答してください.
₁₃₅C₃₀を7で割った余りを求めてください。
半角数字で入力してください。
63999271を素因数分解した時に出てくる素因数全ての和を求めなさい。
例:35の時 5+7=12と解答。
$\lim\limits_{n\to\infty} n\sin\frac{2π}{n} = mπ$ である。 $m$の値を求めよ。
$m$は2つの実数$a,b$を使って $\frac{a}{b}$と表せる。 $m$を分母が有理化された既約分数の形にした時の$a+b$を解答すること。
整数 $x,y$ と数列 $z_k=|x-k|+|y-k|$ に対し,次の命題は $xy\leqq 7!$ の反例を何組もつか.
半角数字で入力してください.
$f(x)=\frac{3-x}{ \sqrt{3(x+2)(-2x+1)}}$ $ (-2<x<0)$ とする $f(x)$ が最小値を取るときの $x$ の値を求めよ
解答は$-\frac{㋐}{㋑}$の形で表されるので、1行目に㋐を、2行目に㋑を半角数字で入力してください
$$ a²+b²=c²,gcd(a,b,c)=1 $$ を満たす自然数a,b,cが存在するとき 任意の自然数tに対して $$ aₜ²+bₜ²=c²ᵗ,gcd(aₜ,bₜ)=1 $$ を満たす自然数aₜ,bₜが存在することを示せ
例)ひらがなで入力してください。
設問4
数列 ${a_n}$ が $a_0=1, a_1=0, a_2=-1$ および漸化式 $$ a_{n+3} - 3a_{n+2} + 3a_{n+1} - a_n = 2^n \quad (n \ge 0) $$ を満たす。一般項 $a_n$ を求めよ。
設問1
数列 ${a_n}$ が $a_1 = 1, a_2 = 4$ および漸化式 $a_{n+2} - 4a_{n+1} + 4a_n = n \cdot 2^n$ ($n \ge 1$) を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。
半角1スペースで答えのみ