柏陽祭2025 (F)

ulam_rasen 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2025年9月20日10:00 正解数: 8 / 解答数: 12 (正答率: 66.7%) ギブアップ不可
初等幾何
この問題はコンテスト「柏陽祭2025」の問題です。

全 12 件

回答日時 問題 解答者 結果
2025年9月25日23:23 柏陽祭2025 (F) ykymst
正解
2025年9月20日22:40 柏陽祭2025 (F) Weskdohn
正解
2025年9月20日19:11 柏陽祭2025 (F) crambon
正解
2025年9月20日16:44 柏陽祭2025 (F) juicethekidd999
正解
2025年9月20日16:40 柏陽祭2025 (F) juicethekidd999
不正解
2025年9月20日16:08 柏陽祭2025 (F) arararororo
正解
2025年9月20日14:51 柏陽祭2025 (F) 244
不正解
2025年9月20日12:38 柏陽祭2025 (F) iwasaki
正解
2025年9月20日12:16 柏陽祭2025 (F) iwasaki
不正解
2025年9月20日10:34 柏陽祭2025 (F) pomodor_ap
正解
2025年9月14日19:32 柏陽祭2025 (F) BAKATAN
正解
2025年9月14日19:31 柏陽祭2025 (F) BAKATAN
不正解

おすすめ問題

この問題を解いた人はこんな問題も解いています

柏陽祭2025 (E)

ulam_rasen 自動ジャッジ 難易度:
32日前

13

半径が$14$の円$Ω$に内接し, $AB>AC$を満たす鋭角三角形$ABC$について, 内心を$I$, $A$傍心を$J$とする. 辺$AJ$の垂直二等分線と$Ω$の交点の内, 点$C$側にあるものを$D$, $B$側にあるものを$E$とし, 三角形$JBC$の外接円と三角形$JDE$の外接円の交点を$X(\neq J)$としたところ, 以下が成り立った.
$$
CX:CD=8:3, AI=10
$$

辺$BC$と辺$DE$の交点を$F$としたときの線分$XF$の長さの二乗を求めてください.

柏陽祭2025 (D)

ulam_rasen 自動ジャッジ 難易度:
32日前

20

問題文

$AB>AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の外心を$O$, $\angle BAC$の二等分線と直線$BO$の交点を$D$とします.
円$ABC$について弧$BAC$の中点を$M$とし, 直線$AB$と直線$CM$の交点を$E$とすると以下が成り立ちました.
$$
\angle ADE=\angle AME, AE=25, BE=96
$$
このとき, 辺$AC$の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\Large\frac{a}{b}$と表せるので $a+b$ の値を解答してください.

柏陽祭2025 (G)

ulam_rasen 自動ジャッジ 難易度:
32日前

8

正三角形$ABC, DEF$について, 三点$A, F, E$がこの順に同一直線上に並んでいます. また, 線分$AD$と線分$BE$の交点が存在したのでこれを$X$とすると三点$F, C, X$はこの順に同一直線上に並びました. 直線$BC$と直線$AE$の交点を$Y$としたとき, 以下が成立しました.
$$
\angle CAE=\angle BEA, AD=AY, DX=1
$$
このとき, 線分$AD$の長さの値の最小多項式を$f$とします. $f(5)$の値を求めてください.


最小多項式とは

$m$を根にもつ有理数係数多項式のうち, 次数が最小であり, かつ最高次の係数が$1$であるものを(このようなものは一意に存在します), $m$の最小多項式とよびます.

柏陽祭2025 (H)

ulam_rasen 自動ジャッジ 難易度:
32日前

19

外接円を$\Omega$, 内心を$I$とする鋭角三角形$ABC$について, 円$Γ$は円$\Omega$に内接し, 辺$AC$, 辺$BC$にも接しています. 円$\Gamma$と円$\Omega$, 辺$AC$との接点をそれぞれ$T, D$とし, 直線$TD$と円$\Omega$の交点を$M(\neq T)$, 直線$AI$との交点を$F$, 直線$TI$と直線$AB$, 円$MDI$の交点をそれぞれ$G$, $K(\neq I)$とします. さらに, 円$MDI$内に点$H$をとったところ, これは円$TAK$上にありました. また, 円$GHK$と直線$MK$の交点を$J(\neq K)$とすると, 直線$GJ$, 直線$AK$, 円$TAD$が一点で交わったのでこれを$L$とします.
$$
FG=FH, MJ:KJ=1:3, LJ=30
$$
が成立するとき, 線分$IK$の長さを二乗した値を求めてください.

柏陽祭2025 (C)

ulam_rasen 自動ジャッジ 難易度:
32日前

61

鋭角三角形$ABC$について, 外接円を$Ω$, 垂心を$H$, 辺$BC$の中点を$M$, 点$H$から直線$AM$に下ろした垂線の足を$K$とします. 直線$BH, CH$と$Ω$の交点をそれぞれ$E(\neq B), F(\neq C)$とし, 線分$EF$の中点を$N$とします. さらに, 辺$AC$上(端点を除く)に点$P$をとると以下が成立しました.
$$
\triangle FNP \backsim \triangle AMC, \angle PFA=\angle BAM, BK=5
$$

このとき, 線分$PE$の長さの二乗としてありうる値の総和を求めてください.

問題12

Mid_math28 自動ジャッジ 難易度:
27日前

19

問題文

ある三角形は内接円の半径が $9$、外接円の半径が $25$、傍接円の一つの半径が $\sqrt{2025}$ です。この三角形の面積を求めてください

解答形式

解答は正の整数値になるので、その値を解答してください。

柏陽祭2025 (B)

ulam_rasen 自動ジャッジ 難易度:
32日前

39

辺$AB$と辺$BC$と辺$CD$の長さが等しい凸四角形$ABCD$について, 辺$BC$と辺$AD$の中点をそれぞれ$M$, $N$としたところ, 以下が成り立ちました.
$$
\angle BAD=75°, \angle CDA=45°, MN=3
$$

このとき, 四角形$ABCD$の面積は正整数$a, b$を用いて$a+\sqrt{b}$ と表すことができるので, $a+b$ の値を求めてください.

bMC_F

bzuL 自動ジャッジ 難易度:
15月前

20

問題文

ある三角形の内心を中心とする半径 $2024$ の円が,その三角形の頂点のうちの一つと,その三角形の外心,垂心を通りました.この三角形の外接円の半径としてあり得る値の総和の整数部分を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

問題11

Mid_math28 自動ジャッジ 難易度:
27日前

82

問題文

$a,b$ を $a \le b$ を満たす正の整数とします。
$2025\times 2026$ のマス目があります。ここに $a\times b$ のタイルを何枚か置くことでマス目を隙間なく敷き詰めることが出来ました。
このような $(a,b)$ の組はいくつありますか?

追記 タイルは回転してかまいません。

解答形式

半角数字で解答してください

H

kusu394 自動ジャッジ 難易度:
11月前

11

問題文

点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円と,その円に内接する正 $169$ 角形 $A_1A_2\cdots A_{169}$ が与えられています.この正 $169$ 角形の頂点のうち,$A_{169}$ を除いた $168$ 頂点から $3$ 点を選ぶ方法は ${}_{168}\mathrm{C}_3$ 通り考えられますが,それらすべてについて選んだ $3$ 点を頂点とする三角形の垂心と $O$ の距離の $2$ 乗の総和を解答してください.(総和の $2$ 乗ではないことに注意してください.)

C

nmoon 自動ジャッジ 難易度:
11月前

15

問題文

三角形 $ABC$ の外心を $O$,垂心を $H$,外接円を $\Gamma$ とする.そして,以下のように点を4つとる.

  • 直線 $BH$ と $\Gamma$ との交点を $P(\not=B)$ とする.
  • 直線 $PO$ と $\Gamma$ との交点を $Q(\not=P)$ とする.
  • 直線 $QH$ と $\Gamma$ との交点を $R(\not=Q)$ とする.
  • 直線 $RO$ と $\Gamma$ との交点を $S(\not=R)$ とする.

このとき,3点 $ C,H,S$ が同一直線上にあった.

$$AH=17 , AO=11$$

のとき,三角形 $ABC$ の面積を求めてください.

解答形式

答えを2乗した値は,互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので,$a+b$ を求めてください.

F

nmoon 自動ジャッジ 難易度:
19日前

7

問題文

$AB \lt AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$,とする.直線 $BH, CH$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点をそれぞれ $E (\not = B) , F (\not = C)$ とし,辺 $AB , AC$ と 線分 $EF$ との交点をそれぞれ $P , Q$ とする.直線 $AC$ に関して $P$ と対称な点を $R$,直線 $AB$ に関して $Q$ と対称な点を $S$ とし,三角形 $RSH$ の外心を $O$ とすると,以下が成立した.

$$ AH = 3 , BC = 4 , AO = 1$$

このとき,$AB$ の長さを求めてください.

解答形式

互いに素な正整数 $b , c$ および正整数 $a$ を用いて $\dfrac{\sqrt{a} - b}{c}$ と表されるので,$a + b + c$ を答えてください.