問題6

tomorunn 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2025年9月13日18:00 正解数: 6 / 解答数: 18 (正答率: 33.3%) ギブアップ不可
この問題はコンテスト「某校数研からの挑戦状!」の問題です。

全 18 件

回答日時 問題 解答者 結果
2025年9月22日7:59 問題6 kmk_math
正解
2025年9月14日18:57 問題6 natsuneko
正解
2025年9月14日17:11 問題6 Weskdohn
正解
2025年9月14日14:44 問題6 arararororo
正解
2025年9月14日11:08 問題6 ZIRU
正解
2025年9月14日9:57 問題6 ZIRU
不正解
2025年9月14日9:49 問題6 ZIRU
不正解
2025年9月14日9:43 問題6 ZIRU
不正解
2025年9月14日9:41 問題6 ZIRU
不正解
2025年9月14日9:40 問題6 ZIRU
不正解
2025年9月14日9:39 問題6 ZIRU
不正解
2025年9月14日9:30 問題6 ISP
正解
2025年9月13日21:56 問題6 uran
不正解
2025年9月13日21:37 問題6 pomodor_ap
不正解
2025年9月13日21:33 問題6 pomodor_ap
不正解
2025年9月13日21:26 問題6 pomodor_ap
不正解
2025年9月13日21:23 問題6 pomodor_ap
不正解
2025年9月13日21:04 問題6 uran
不正解

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問題文

区別できる6個の箱に区別できる球を12個入れる(球が1つも入っていない箱があってもよい).
$i$ 番目の箱に入っている玉の数を $A_i$ とする.
入れ方すべてについて,積 $A_1^2 A_2^2\cdots A_6^2$ を計算し,その和を求めよ.

解答形式

半角数字で入力してください。

問題3

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10

問題文

$2025$ 以下の正整数 $n$ であって,
$$\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\displaystyle\sum_{i=j}^{2n-j} {}_{2n-j}C_{i}$$
が $6$ の倍数となるものの総和を求めよ.

解答形式

半角数字で入力してください。

問題8

tomorunn 自動ジャッジ 難易度:
23日前

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問題文

数列 ${a_n}$ は $a_{n+1}=\dfrac{2a_n^2}{8-a_n^2}\ (n=1,2,\dots)$ を満たす.
$a_{2025}=-4$ となるような $4$ 以上の実数 $a_1$ の個数を $M$ とするとき,$M$ を素数 $2017$ で割った余りを求めよ.

解答形式

半角数字で入力してください。

問題2

tomorunn 自動ジャッジ 難易度:
23日前

11

問題文

格子点上を,点 $P$ は $(0,2)$ から $(6,8)$ へ,点 $Q$ は $(2,0)$ から $(8,6)$ へ最短経路で進む.
このとき,2 本の経路が交差しない(頂点共有もしない)組の総数を求めよ.

解答形式

例)半角数字で入力してください。


問題文

一辺の長さが1である正方形を $n$ 個、頂点が合うように辺同士でつなげてできる図形を $n$-オミノ とする。ただし、$n=1$ の場合は1つの正方形である。また、$n$-オミノが多角形をなすとき($n$-オミノで囲まれた領域が存在しないとき)、これを $n$-オミノ多角形 とする。

$\rm{S_n}$が$n$-オミノ多角形であるとき、$\rm{S_n}$の辺の数が2024となるような $n$ の最小値を求めよ。

解答形式

答えは整数となるので、半角で入力してください。

F

nmoon 自動ジャッジ 難易度:
4日前

7

問題文

$AB \lt AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$,とする.直線 $BH, CH$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点をそれぞれ $E (\not = B) , F (\not = C)$ とし,辺 $AB , AC$ と 線分 $EF$ との交点をそれぞれ $P , Q$ とする.直線 $AC$ に関して $P$ と対称な点を $R$,直線 $AB$ に関して $Q$ と対称な点を $S$ とし,三角形 $RSH$ の外心を $O$ とすると,以下が成立した.

$$ AH = 3 , BC = 4 , AO = 1$$

このとき,$AB$ の長さを求めてください.

解答形式

互いに素な正整数 $b , c$ および正整数 $a$ を用いて $\dfrac{\sqrt{a} - b}{c}$ と表されるので,$a + b + c$ を答えてください.

問題4

tomorunn 自動ジャッジ 難易度:
23日前

13

問題文

以下の条件に従って数列 ${a_n}$ を定義するとき,$\displaystyle \sum_{n=1}^{2025} a_n$ の取りうる値の総和を求めよ.
・すべての正整数 $n$ に対し,$a_n$ は $0$ 以上の整数である.
・すべての正整数 $n$ に対し,$a_{2^n}=a_2^n$ を満たす.
・すべての正整数 $n$ に対し,$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=n+1}^{2n} a_k$ を満たす.

解答形式

半角数字で入力してください。

C. 地雷

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問題文

4x4のマス目のうち、0個以上のマスを選んで1つずつ地雷を置き、すべてのマスに周囲8マス(自身を含まない)の地雷の数を書きます。
地雷を置くすべてのパターンにおいて書かれている数字の総和を求めてください。

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半角数字で入力してください。

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三角形 $ABC$ の外心を $O$,垂心を $H$,外接円を $\Gamma$ とする.そして,以下のように点を4つとる.

  • 直線 $BH$ と $\Gamma$ との交点を $P(\not=B)$ とする.
  • 直線 $PO$ と $\Gamma$ との交点を $Q(\not=P)$ とする.
  • 直線 $QH$ と $\Gamma$ との交点を $R(\not=Q)$ とする.
  • 直線 $RO$ と $\Gamma$ との交点を $S(\not=R)$ とする.

このとき,3点 $ C,H,S$ が同一直線上にあった.

$$AH=17 , AO=11$$

のとき,三角形 $ABC$ の面積を求めてください.

解答形式

答えを2乗した値は,互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので,$a+b$ を求めてください.

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4x4のマス目を1x2のタイル8枚で敷き詰める方法は何通りありますか?

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半角数字で入力してください。

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ある三角形の内心を中心とする半径 $2024$ の円が,その三角形の頂点のうちの一つと,その三角形の外心,垂心を通りました.この三角形の外接円の半径としてあり得る値の総和の整数部分を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

整数

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$
f(x,n)=x^{2^{n+1}}-x^{2^{n}}とおく。
$
$
f(a,b) と f(c,d) の最大公約数として
考えられるものの最小値を求めよ。
$
$
ただし、a,b,c,dはいずれも2以上の自然数で、a\neq b \neq c \neq d とする。
$