各桁の積

${}$　西暦2026年問題第3弾は規則性の問題でお送りします。あることに気づけば機械的な計算で答えが求まります。規則性の妙をお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は$n$の値を半角でそのまま入力してください。「$n=$」の記載は不要です。
（例）$n=103$ → $\color{blue}{103}$
　なお、この条件を満たす$n$が存在しない場合には、$\color{blue}{-1}$と入力してください。

ある箱Hに赤玉5個、白玉4個入っている、Aさんが白たまを引くとき、Bさんは青玉を白玉の代わりに入れる、
同様に赤玉を引いたとき、Ｂさんは緑玉を代わりに入れる、その後Gさんが箱から玉を取り出す、この時青玉を取り出す確率は幾つであるか

回答は
該当/全体的
で記入してください

問題文

次の連立方程式において、x,yの値を求めよ
ただし、x>yとする
4x²+4x-4y²=-1
x²+6x+6y=61

解答形式

すべて半角でx=◯,y=◯と入力
分数は分子/分母と入力
例　x=1,y=-1/3

問題文

以下の連立方程式を満たすような実数の組$(a,b,c,d)$の個数を求めよ。
$$
\begin{cases} ab^2c^3d^4=1 \\ a^4bc^2d^3=1\\a^3b^4cd^2=1\\a^2b^3c^4d=1\end{cases}
$$

解答形式

半角数字で個数を入力してください。

問題文

平面に重複なく$2N$個の点を打ち、任意の点を$2$個ずつ選んで$N$本の直線を作る。
ある打った$2N$個の点に対して、どの直線も交わらないような結び方の総数を$S(N)$とする。$S(N)$が取りうる$2025$以下の正整数値をすべて求めよ。
ただし、$N$は正整数とする。

解答形式

$S(N)$が取りうる値の総和を半角数字で入力してください。

問題文

$m,n$を整数とします。
$$(m+n)!+2025^{{n}^{m}}=2026^{mn+1}$$
を満たす組$(m,n)$について、$mn$の総積を
求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$AB=BC$で、面積が$2025$であるような二等辺三角形$ABC$がある。$AB(=BC)$の最小値を求めよ。

解答形式

半角数字で$AB^2(=BC^2)$の値を入力してください。

問題文

モニターに0が表示されている。ここには3つのボタンがあり、
・ボタン$A$を押すとモニターの数字が1増える。
・ボタン$B$を押すとモニターの数字が2増える。
・ボタン$C$を押すとモニターの数字が3増える。
ボタン$A～C$をそれぞれ任意の回数押したとき、
最後に表示される数字が300以下の非負の3の倍数となるようなボタンの押し方の総数を求めよ。ただし、ボタンを押す順番は区別しない。

解答形式

例）半角数字で入力してください。

1から2pの2p個の異なる自然数を全て並べる時に隣り合う二つの積が常に偶数になる通りをSpとするとき、それがpで最大何回割れるか答えろ.
(ただしpは素数とする)

(半角の自然数が答え)

問題文

以下の $x$ に関する $100$ 次方程式の（重解を含む）$100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします．
$$x^{100}+x^{99}+2025x+12=0$$

このとき，以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{100} {\alpha_k}^{100}$$

解答形式

整数で解答してください．

補足

https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの14番の問題の改題です．

問題文

$\angle{ADC}=\angle{BCD}=90^\circ,BAD>90^\circ$なる台形$ABCD$について,
$$\angle{BAC}=90^\circ,AB=4,AC=3$$
が成立した.$ABCD$の面積を求めよ.

解答形式

求める値は互いに素な正整数$p,q$を用いて$\frac{p}{q}$と表せるので,$p+q$を解答してください.

問題文

$\angle{A}=60^\circ,AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，その外心を $O$ ，垂心を $H$ とします．直線 $OH$ と直線 $AB$ との交点を $P$ としたとき，以下が成立しました．$$AP=8,AH=7$$このとき，三角形 $ABC$ の面積は互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください。