問題6

Mid_math28 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2025年9月25日21:00 正解数: 21 / 解答数: 26 (正答率: 80.8%) ギブアップ不可
この問題はコンテスト「EMO (East Mathematics Olympiad)」の問題です。

全 26 件

回答日時 問題 解答者 結果
2025年9月26日21:26 問題6 Weskdohn
正解
2025年9月26日17:31 問題6 ゲスト
正解
2025年9月26日15:29 問題6 udonoisi
正解
2025年9月25日22:21 問題6 SANcheck1d6
不正解
2025年9月25日22:10 問題6 arararororo
正解
2025年9月25日22:06 問題6 szlt
正解
2025年9月25日22:02 問題6 tomorunn
不正解
2025年9月25日22:00 問題6 tomorunn
不正解
2025年9月25日21:59 問題6 kiwi1729
正解
2025年9月25日21:53 問題6 tomorunn
不正解
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正解
2025年9月25日21:51 問題6 wasab1
正解
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正解
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正解
2025年9月25日21:30 問題6 DY_math
不正解
2025年9月25日21:27 問題6 rakki
正解
2025年9月25日21:22 問題6 Calculator
正解
2025年9月25日21:21 問題6 kmk_math
正解
2025年9月25日21:19 問題6 hsneba
正解
2025年9月25日21:18 問題6 kou0707
正解
2025年9月25日21:17 問題6 Lapi
正解
2025年9月25日21:14 問題6 kkkaaa
正解
2025年9月25日21:13 問題6 miq_39
正解
2025年9月25日21:10 問題6 pomodor_ap
正解

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$2025 \times 2025$ のマス目があり、右から $m$ 列目、上から $n$ 行目のマスを $(m,n)$ と表します。
いま、$(1,1)$ に東くんがおり、辺を共有するマスを通って最短距離で $(2025,2025)$ まで移動します。
このとき、以下を満たすような移動方法は $M$ 通りあります。$M$ は $2$ で何回割り切れますか?

$$i と j がともに偶数であるようなマス (i,j) を一つも通らない$$

解答形式

半角数字で解答してください

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問題文

以下のように点 $O$ を中心とする円周上に三角形 $ABC$ が内接しています。この円の内部に点 $D$ を取ると、$AB=BC=AO=4,\angle BAD=90°$ が成り立ち、さらに三角形 $AOD$ の面積は $3\sqrt{3}$ でした。このときの線分 $CD$ の長さの $2$ 乗を求めてください。

解答形式

解答は正の整数値になるので、その値を半角数字で解答してください

問題4

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問題文

一辺の長さが $4$ の正三角形を、以下のように一辺の長さが $1$ の小正三角形 $16$ 個に分割します。
東くんがこの小正三角形それぞれに $0,1,2$ のいずれか一つを書き込むと、辺を共有して隣り合う $2$ つの小正三角形に書かれた数の差(の絶対値)はすべて $1$ でした。
このように東くんが書き込む方法は何通りありますか?ただし裏返しや回転によって一致する書き込み方も区別します。

解答形式

半角数字で解答してください

問題8

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問題文

$$9^a=2^b+5^c$$
を満たす非負整数の組 $(a,b,c)$ を全て求めてください。

解答形式

$(a,b,c)$ としてありうる組すべてについて、$a+b+c$ の総和を解答してください

問題9

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問題文

複素数$\alpha,\beta,\gamma$が
$$\begin{cases}
\alpha+\beta+\gamma=9\\
\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=25\\
\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=2025
\end{cases}$$
を満たしています。このとき、$f(x)=0$ が $\alpha,\beta,\gamma $を解に持ち、かつ最高次係数が $1$ であるような $3$ 次関数 $f(x)$ が一意に存在するので、$❘f(2)❘$ を求めてください。

解答形式

解答は正の整数値になるので、その値を解答してください

問題2

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問題文

$n^9$ と $n^{25}$ の $1$ の位が等しいような $1$ 桁の正整数 $n$ を全て求め、それらの総和を解答してください。

解答形式

半角数字で解答してください

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相異なる $1$ 以上 $9$ 以下の整数の組 ($A,E,M,S,T,U,Y$) が以下の覆面算を満たしています

$$\begin{array}{rr}
& MATU \\
+ & YAMA \\
\hline
& EAST
\end{array}$$
このとき、$EAST$ としてありうる値を見つけてください。

解答形式

$EAST$ としてありうる値が$3$つ存在するので、それらの総和を解答してください。

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$2025年9月25日$ のように、西暦、年、日が全て平方数であるような日をEMOい日とします。
$2025年9月25日$ の次のEMOい日は $a年b月c日$ です。$a+b+c$ を解答してください

解答形式

半角数字で解答してください

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$AB=10,BC=21,CA=17$ をみたす三角形 $ABC$ の内心を $I$ とします。辺 $AB$ 上に点 $D$ をとると、直線 $DI$ が三角形 $ABC$ の面積を $2$ 等分し、さらに辺 $BC$ と交わりました。このときの線分 $AD$ の長さを求めてください。

解答形式

$AD$ の長さは正整数$a,b$を用いて $\sqrt{a}-b$ と表されるので、$a+b$ を解答してください

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$a,b$ を $a \le b$ を満たす正の整数とします。
$2025\times 2026$ のマス目があります。ここに $a\times b$ のタイルを何枚か置くことでマス目を隙間なく敷き詰めることが出来ました。
このような $(a,b)$ の組はいくつありますか?

追記 タイルは回転してかまいません。

解答形式

半角数字で解答してください

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ある三角形は内接円の半径が $9$、外接円の半径が $25$、傍接円の一つの半径が $\sqrt{2025}$ です。この三角形の面積を求めてください

解答形式

解答は正の整数値になるので、その値を解答してください。

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三角形 $ABC$ について,重心を $G$ ,線分 $AB$ の中点を $M$ ,線分 $AC$ の中点を $N$ とし,直線 $AG,MN$ の交点を $P$ としたとき,四角形 $BGPM$ の面積が $2025$ となりました.三角形 $ABC$ の面積を求めてください.

解答形式

答えは非負整数値となるので,それを半角で解答してください.