400C

以下で定義される関数 $f$ について, $f(15000,25000)$ を素数 $4999$ で割った余りを求めてください.
$$f(m,n)=\sum_{\ell=1}^{n}\sum_{\substack{a_1,\cdots,a_{\ell}\geq 1\\\\ a_1+\cdots +a_{\ell}=n}}(-1)^{\ell}\binom{m}{a_1}\cdots \binom{m}{a_{\ell}}$$
$$\quad$$

問題文

区別できる6個の箱に区別できる球を12個入れる（球が1つも入っていない箱があってもよい）．
$i$ 番目の箱に入っている玉の数を $A_i$ とする．
入れ方すべてについて，積 $A_1^2 A_2^2\cdots A_6^2$ を計算し，その和を求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$2025$ 以下の正整数 $n$ であって，
$$\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\displaystyle\sum_{i=j}^{2n-j} {}_{2n-j}C_{i}$$
が $6$ の倍数となるものの総和を求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

$1$ 以上 $461$ 以下の整数からなる数列 $(a_1,a_2,\cdots,a_N)$ は以下を満たします.

• $a_1=309,a_N=461$.
• $a_n\neq 461\quad (n=2,3,\dots,N-1)$
• $n=2,3,\dots,N$ について, $(a_1+a_{n-1})a_n \equiv (1+a_1a_{n-1})\pmod{461}$

このとき, $N$ の値は一意に定まるので, $N$ の値を求めてください.
ただし, $461$ は素数であり, $2^n\equiv 1\pmod{461}$ をみたす正整数 $n$ の最小値は, $460$ であり, $3a_1\equiv 5\pmod{461}$ です.

問題文

$f(x)=\frac{3-x}{ \sqrt{3(x+2)(-2x+1)}}$ $ (-2<x<0)$ とする
$f(x)$ が最小値を取るときの $x$ の値を求めよ

解答形式

解答は$-\frac{㋐}{㋑}$の形で表されるので、1行目に㋐を、2行目に㋑を半角数字で入力してください

設問1

数列 ${a_n}$ が $a_1 = 1, a_2 = 4$ および漸化式 $a_{n+2} - 4a_{n+1} + 4a_n = n \cdot 2^n$ ($n \ge 1$) を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

半角1スペースで答えのみ

設問4

数列 ${a_n}$ が $a_0=1, a_1=0, a_2=-1$ および漸化式
$$ a_{n+3} - 3a_{n+2} + 3a_{n+1} - a_n = 2^n \quad (n \ge 0) $$
を満たす。一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

$202\times5$ のマス目があり，それぞれのマスに上下左右のいずれかの矢印が書かれており，以下の $2$ つを満たしました．

• 任意のマスについて，そのマスに書かれている矢印の方向に動くということを繰り返すことで元のマスに戻ることができる．

• 互いに向かい合っているような矢印は存在しない．

• $3$ 列目に書かれた $202$ 個の矢印の中に，左向きの矢印は存在しない．

条件を満たすように矢印を書き込む方法は $N$ 通りあります．$N$ を$2$ つの素数の積 $197\times199$ で割った余りを求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

∮(-π/6→π/3) ((sinx)^3)/(sinx+cosx)dxの値を求めよ。

解答形式

解答は π/a-(√ b+c)/d-(1/e)log(√f+g)の形になります。
a,b,c,d,e,f,gに当てはまる自然数を順に半角で答えてください。
また、1つの値の間は1つずつ空白を開けるようにしてください。
(例)a=2, b=3, c=11,d=5,e=6,f=7,g=8の場合、
2 3 11 5 6 7 8

問題文

$a>0,b>0$ のとき、
$a^{4}+4a^{3}b+2a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\geq0$ を示せ

解答形式

記述形式でお願いします
入力がめんどくさい方は、紙に書いて、twitterのDMに送ってください

問題

整数 $x,y$ と数列 $z_k=|x-k|+|y-k|$ に対し，次の命題は $xy\leqq 7!$ の反例を何組もつか．

• ある非負偶数 $k$ で $z_k\lt 2$ は，辺長 $x^3+8,\ y^3+8,\ 6xy+8$ の三角形が存在する必要条件である．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

線分$AB$を$1:k(k>0)$に内分する点$P$と，線分$AB$の中点$M$がある。 $PB＝3，PM=\frac{3}{4}$のとき，$k$の値として相応しいものを以下の選択肢からふたつ選べ。

1．$\frac{1}{3} $
2．$\frac{2}{3} $
3．$2$
4．$3$

解答形式

ふたつ目は改行して答えてください。
例)
1
2