ABC(H)

問題文

$1000$ の正の約数の集合を $D$ とします．また，$999$ 次方程式

$$x^{999}+x^{998}+\dots+x+1=0$$

の $999$ 個の解を $x=x_1,x_2,\dots,x_{999}$ とします．このとき，

$$\sum_{d\in D}^{}\sum_{s=1}^{999} x_s^d$$

の値を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$2$ 以上の整数 $n$ のうち，次の条件を満たすものはいくつありますか？

• $n$ の $k$ 個の正の約数を小さい順に $d_1,d_2,\dots,d_k$ としたとき，任意の $1$ 以上 $k-1$ 以下の整数 $i$ について $d_{i+1}-d_i\leq40$ が成立する．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$26$ 種類あるアルファベットの大文字からなる文字列に対し，次のようにして整数を対応付けます．

• $k$ 文字の文字列を考える．$1\leq i\leq k$ なる整数 $i$ について $i$ 文字目が $a_i$ 番目のアルファベットの大文字であるとき，$a_1,a_2,\dots,a_k$ を続けて書く．

例えば，文字列 $CAT$ は，$C$ が $3$ 番目，$A$ が $1$ 番目，$T$ が $20$ 番目のアルファベットであるから $3120$ となります．このように，ある文字列に対応付けられる整数は一意に定まります．
いま，ある文字列に対応付く整数が $12012311821$ となりました．元の文字列として考えられるものはいくつありますか？

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で入力してください．

問題文

$13$ の倍数である $9$ 桁の正整数であって，上 $3$ 桁の整数も上 $6$ 桁の整数も $13$ の倍数であるようなものはいくつありますか？

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

ある正の実数 $k$ があり，$x$ についての $4$ 次多項式 $f(x)$ を

$$f(x)=x^4+4kx^3+3kx^2+2kx+k$$

と定めます．方程式 $f(x)=0$ は相異なる $4$ 個の複素数解を持ったのでそれらを $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ とし，さらに $x$ についての $4$ 次多項式 $g(x)$ を，$4$ 次の項の係数が $1$ であり，かつ方程式 $g(x)=0$ が $4$ 個の複素数解 $\dfrac{1}{\alpha},\dfrac{1}{\beta},\dfrac{1}{\gamma},\dfrac{1}{\delta}$ を持つように定めます．
$g(6)=2025$ であるとき，$k$ の値を求めてください．

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

問題文

以下の条件をすべて満たすような正整数 $n$ はいくつありますか？

• $n$ は $3$ の倍数である．

• $2$ 進法で表記した $n$ はちょうど $15$ 桁の数で，そのうち $5$ つの桁の数字が $0$ である．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ について，重心を $G$ ，線分 $AB$ の中点を $M$ ，線分 $AC$ の中点を $N$ とし，直線 $AG,MN$ の交点を $P$ としたとき，四角形 $BGPM$ の面積が $2025$ となりました．三角形 $ABC$ の面積を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，$A$ から $BC$ におろした垂線の足を $H$ とします．三角形 $ABC$ の外接円の，$C$ を含まない方の弧 $AB$ 上に点 $P$ をとれば，
$$\angle APH=90^\circ ,\quad BH＝3,\quad CH=4,\quad AP＝10$$
が成立したので線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$14\times 14$ のマス目に以下のように整数を書き込む．ただし，左から $m$, 上から $n$ 番目のマスを $(m,n)$ で表すものとする．

• $(1,1)$ に $1$ を，$(1,2)$ と $(2,1)$ に $2$ を書き込む．
• $k\geq 3$ について，すべてのマスに整数が書き込まれるまで以下を繰り返す: $k-2$ が書き込まれているいずれかのマスと，辺を共有せず頂点のみを共有しているマスであり，まだ整数が書き込まれていないようなものすべてに $k$ を書き込む．

いま，PDC 君は $(m,n)$ にいるとき $(m+1,n), (m,n+1)$ に瞬間移動することができ，またそれ以外の移動をすることができない．あるマスからあるマスへの経路について，全ての訪問したマス（出発地点と到着地点を含む）に書き込まれた数字の総和をスコアとする．
$(1,1)$ から $(14,14)$ まで移動するとき，スコアが最小となるような移動方法はいくつあるか？

問題文

正の整数 $n$ について，$f(n)$ で $n$ の正の約数であり，$n$ の最小の素因数を素因数に持たないようなもののうち最大のものを表す．例えば，$f(2\times 3^2)=3^2, f(2\times 3\times 5)=3\times 5$ である．ただし，$f(1)=1$ と扱う．
また，$g(n)$ で $n$ の正の約数 $d$ すべてについて $f(d)$ の総和を表す．
このとき，
$$g(2\times 3\times 7\times 11\times 13\times 17)-g(5\times 7\times 11\times 13\times 17)$$ を求めよ．

問題文

$AB<AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり， $A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とし，線分 $AH$ 上に $\angle ABP = \angle ACP$ を満たす点 $P$ をとります．また，線分 $BC$ と三角形 $ACP$ の外接円の交点のうち $C$ でないものを $D$ とし，直線 $BP,AD$ の交点を $E$ とすれば，
$$BP=CD=5,\quad PE＝3$$
が成立したので三角形 $ABC$ の面積を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり重心を $G$，垂心を $H$ とします．線分 $GH$ の中点を $M$ とすれば，直線 $AM$ は $ \angle BAC$ を二等分し，

$$BC＝30,\quad CH＝25$$
が成立しました．このとき線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．