500A

MARTH 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2025年10月3日12:07 正解数: 1 / 解答数: 1 (正答率: 100%) ギブアップ数: 0

以下で定義される関数 $f$ について, $f(15000,25000)$ を素数 $4999$ で割った余りを求めてください.
$$f(m,n)=\sum_{\ell=1}^{n}\sum_{\substack{a_1,\cdots,a_{\ell}\geq 1\\\\ a_1+\cdots +a_{\ell}=n}}(-1)^{\ell}\binom{m}{a_1}\cdots \binom{m}{a_{\ell}}$$
$$\quad$$


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  • $i=1,2,3,4,5,6$ について $a_i$ は $210^{11}$ の約数.

  • $i=1,2,3,4,5$ について $\dfrac{a_{i+1}}{a_i}$ は整数であり, $\dfrac{a_{i+1}}{a_i}$ が $210^k$ の倍数となるような最大の整数 $k$ は奇数.

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$$\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\displaystyle\sum_{i=j}^{2n-j} {}_{2n-j}C_{i}$$
が $6$ の倍数となるものの総和を求めよ.

解答形式

半角数字で入力してください。

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解答形式

半角数字で入力してください。

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  • $a_1=309,a_N=461$.
  • $a_n\neq 461\quad (n=2,3,\dots,N-1)$
  • $n=2,3,\dots,N$ について, $(a_1+a_{n-1})a_n \equiv (1+a_1a_{n-1})\pmod{461}$

このとき, $N$ の値は一意に定まるので, $N$ の値を求めてください.
ただし, $461$ は素数であり, $2^n\equiv 1\pmod{461}$ をみたす正整数 $n$ の最小値は, $460$ であり, $3a_1\equiv 5\pmod{461}$ です.

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holoXのずのーである『博衣こより』はとある実験に成功し、同じholoXのメンバーである『ラプラス・ダークネス』『鷹嶺ルイ』『沙花叉クロヱ』『風真いろは』と自分自身をそれぞれ $6$ 人ずつに分身させてしまいました.
分身させた計 $30$ 人のうち $6$ 人を選び,下記の条件に沿って左右 $1$ 列に並べる方法は何通りありますか.

  • 『博衣こより』と『沙花叉クロヱ』は隣り合ってはならない.(こよクロ(『博衣こより』と『沙花叉クロヱ』のユニット)は解散しているため)
  • 『ラプラス・ダークネス』の左右のどちらか隣に『鷹嶺ルイ』がいないといけない(『ラプラス・ダークネス』は『鷹嶺ルイ』が近くにいないと不安になってしまうため.しかし,『鷹嶺ルイ』の隣に『ラプラス・ダークネス』がいなくても良い.)

解答形式

半角整数で入力してください.

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以下の条件に従って数列 ${a_n}$ を定義するとき,$\displaystyle \sum_{n=1}^{2025} a_n$ の取りうる値の総和を求めよ.
・すべての正整数 $n$ に対し,$a_n$ は $0$ 以上の整数である.
・すべての正整数 $n$ に対し,$a_{2^n}=a_2^n$ を満たす.
・すべての正整数 $n$ に対し,$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=n+1}^{2n} a_k$ を満たす.

解答形式

半角数字で入力してください。

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このとき良い列について $(x_i,y_i,z_i)=(x_{i-1},y_{i-1},z_{i-1})$ を満たす $i\;(i=1,2,\dots,N)$ の個数を $k$ としたとき $2^k$ をその列の 良さ とします. 良い列すべてについてその良さの総和を $S$ とします. このとき $S$ を素数 $8999$ で割った余りを求めてください.

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解答形式

半角数字で解答してください.

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解答形式

半角数字で入力してください。

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