A分野

問題文

$a,n$ を正の整数とする．
$$\int ax^ne^xdx$$
の $e^x$ の係数が $2026!$ であるような $(a,n)$ の組は何個ありますか？

解答形式

整数で解答してください

問題文

複素数平面上のn個の点z,z^2,z^3,…z^n(z≠+-1)が全て同一円周上にあることの必要十分条件は、|z|=1であることを証明せよ

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

次を満たす整数係数多項式の組 $(f,g)$ はいくつありますか？
$$f(g(x))=x^6+1　0≦f(0),g(0)≦2025$$

解答形式

条件を満たす組の個数を半角整数で $1$ 行目に入力してください。

問題文

下の問題の積分の値を求めなさい。
$$ \int_0^\infty \frac{\ln(x)}{(x^2+1)^2} dx $$

解答形式

例）$-\frac{1}{2}$の場合
-1/2
と半角英数字で入力してください。

問題文

$a,b,c$ を実数とする。次の連立方程式を解け。

$$
a^2-4b-1=0\\
b^2-8c+28=0\\
c^2-6a+2=0\\
$$

解答形式

a,b,cを半角数字として(a,b,c)で解答してください。無理数などを使いたい場合はTeXコマンドを使用してください。

問題文

https://pororocca.com/problem/19/
こちらの問題の設定で，「裏裏裏裏裏表表表表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

$\pi$ と $\dfrac{355}{113}$ はどちらが大きいか。ただし必要があれば積分

$$
\int_0^1\frac{x^8(1-x)^8(25+816x^2)}{3164(1+x^2)}dx
$$

を計算せよ。

解答形式

piまたは 355/113 で解答してください。

問題文

「ボ」と「ー」からなる文字列のうち，以下の条件を満たすものをボー文字列と呼ぶことにします．

条件：長音記号「ー」が文字列の先頭にくることはなく，連続して現れない．

例えば，「ボボー」や「ボーボボ」はボー文字列ですが，「ーボー」や「ボボーー」はボー文字列ではありません．

ボー文字列に対して，次の操作を行うことを考えます．

操作：ボー文字列に対して，次のうちいずれか一方を行う．

• （A）文字列のどこか1ヶ所に長音記号「ー」を付け加える．
• （B）文字列の末尾に「ボ」を付け加える．

ただし，得られた文字列はボー文字列でなければならない．

1文字「ボ」から始めて，ボー文字列に対してくり返し操作を行い $n$ 文字からなるボー文字列が得られたとします．異なる操作の仕方の総数を $a_n$ とするとき，$a_{10}$ を求めなさい．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

ピザが1枚ずつ乗った $N\;(\geq 2)$ 枚の皿が横一列に並んでいます．ピザには表と裏があり，表には具がのっていて，裏にはのっていません．はじめ，すべての皿のピザは表が上になっています．これらのピザに対して，次の操作Xを考えます．

操作X：

1. 隣り合う2枚の皿に着目し，左側の皿に乗っているピザをひっくり返し，右側の皿の一番上に重ねる．ピザが複数枚乗っている場合は，ピザを重ねたまままるごとひっくり返す．
2. 左側の皿を取り除き，皿どうしのすき間を詰める．

この操作Xを$\;N-1\;$回繰り返すと，1枚の皿にピザの塔ができます．操作Xの $N-1$ 回の繰り返しをピザの調理ということにします．ピザの塔を構成するピザを，上から順に$\;P_i\; (i=1,\cdots, N)\;$とし，$P_i$ が表を上に向けているとき「表」，裏を上に向けているとき「裏」と書くことにすると，ピザの塔は「裏裏裏表」のように表すことができます．

$N=6$とします．「裏裏裏裏表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題

(1) $a,b$ を整数でない正の有理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。

(2) $a$ を整数でない正の有理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。

(3) $a,b$ を正の無理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。

(4) $a$ を正の無理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。

解答方法

解答欄に改行区切りで O (オー)または X (エックス)を記述せよ。正解判定は各行に対して行われ、完答のみ正解となる。

問題

(1) 定積分

$$
\int_0^1 \frac{x\log x}{(x+1)^2}dx
$$

の値を求めよ。

(2) 関数列 ${f_n(x)}$ を

$$
f_{n+1}(x)=(x^x)^{f_n(x)},\quad f_1(x)=x^x
$$

で定める。定積分

$$
\int_0^1(x^x)^{{(x^x)}^{(x^x)\cdots}}dx:=\int_0^1\lim_{n\to \infty} f_n(x)\ dx
$$

の値を求めよ。ただしテトレーション $x^{{x^{x\cdots}}}$ は底 $x$ が $e^{-e}<x<e^{1/e}$ のとき収束することは証明せずに用いて良い。

備考

この問題の正解判定は出題者により手動で行われるため、判定までに時間がかかることがある。

問題文

${\rm GL}(2,\mathbb{R})$ を $2\times 2$ 正則行列全体の集合とする．単位行列を $E$ とし，${\rm GL}(2,\mathbb{R})$ の部分集合 $S$ を

\begin{equation}
S=\{ A\in {\rm GL}(2,\mathbb{R})\mid \forall X\in {\rm GL}(2,\mathbb{R}), AX=XA\}
\end{equation}

で定めるとき

\begin{equation}
S=\{ rE \mid r\in \mathbb{R}, r\neq 0\}
\end{equation}

であることを証明せよ．