領域の面積

問題文

nを4以上1000以下の整数とする。1000以下の正整数の組$(a_1,a_2,…,a_n)$であって、$$a_1=\frac{a_2+a_3+a_4}{3},a_2=\frac{a_3+a_4+a_5}{3},…,a_{n-1}=\frac{a_n+a_1+a_2}{3},a_n=\frac{a_1+a_2+a_3}{3}$$を満たすものの個数を求めよ。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

次を満たす整数係数多項式の組 $(f,g)$ はいくつありますか？
$$f(g(x))=x^6+1　0≦f(0),g(0)≦2025$$

解答形式

条件を満たす組の個数を半角整数で $1$ 行目に入力してください。

問題文

$x$を$x^2+2ax+b=0$の解でない実数、$a,b$を$100$以下の正整数とする。
ある$a,b$に対して
$$x^2+2ax+b-\frac{1}{x^2+2ax+b}$$
の最小値を$min(x)$とすると、この$min(x)$の値は、$a,b$の値によって変わる。$min(x)$が一意に定まり、かつその$min(x)$を最小にするような$a,b$の値をすべて求めよ。

追記:問題文を一部変更しました。

解答形式

ありうる組$(a,b)$について、$a+b$の総和を半角数字で入力してください。

問題文

$a,n$ を正の整数とする．
$$\int ax^ne^xdx$$
の $e^x$ の係数が $2026!$ であるような $(a,n)$ の組は何個ありますか？

解答形式

整数で解答してください

問題文タイトル：三条件で定まる点と魂面積比（上級・II）

平面上に、点 $A(0,0)$、点 $B(10,0)$、点 $C(4,8)$ がある。
点 $P(x,y)$ は次の条件を満たすものとし、解の一意性のため $y>5$ とする：

1. 距離比　$\displaystyle \frac{AP}{BP}=\phi$　（ただし $\displaystyle \phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）
2. 角度条件　$\angle BPC = 120^\circ$

点 $P$ の座標を求めなさい。
（解答は「x, y」の順に小数第2位まで。例：1.23, 4.56）

問題文を入力してください

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

$f(x)=\frac{3-x}{ \sqrt{3(x+2)(-2x+1)}}$ $ (-2<x<0)$ とする
$f(x)$ が最小値を取るときの $x$ の値を求めよ

解答形式

解答は$-\frac{㋐}{㋑}$の形で表されるので、1行目に㋐を、2行目に㋑を半角数字で入力してください

タイトル：三条件で定まる点と最短距離条件（大学レベル）

平面上に、点 $A(0,0)$、点 $B(12,0)$、点 $C(4,9)$ がある。
点 $P(x,y)$ は次の条件を満たすものとする：

1. 距離比　$\displaystyle \frac{AP}{BP}=\phi^3$（ただし $\displaystyle \phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）
2. 角度条件　$\angle APC = 45^\circ$
3. 直線 $BC$ からの距離が最小となる位置を選ぶ。

点 $P$ の座標を求めなさい。
（解答は「x, y」の順に小数第2位まで。例：1.23, 4.56）
問題文
問題文を入力してください

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

設問1

数列 ${a_n}$ が $a_1 = 1, a_2 = 4$ および漸化式 $a_{n+2} - 4a_{n+1} + 4a_n = n \cdot 2^n$ ($n \ge 1$) を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

半角1スペースで答えのみ

問題文

$p$を正の実数の定数とする。定数でない多項式$f$が次を満たすとき、$f(1)$の値の最大値$M$と最小値$m$を求めよ。

条件:任意の実数$q$に対し、$|q-r|≦p$をみたす実数$r$が存在し、$f(f(q))=f(r)$を満たす。

解答形式

$M+m$の値を$1$行目に半角で入力してください。不要な小数点などはつけないでください。(例:2.0、3.1400などは×)

設問4

数列 ${a_n}$ が $a_0=1, a_1=0, a_2=-1$ および漸化式
$$ a_{n+3} - 3a_{n+2} + 3a_{n+1} - a_n = 2^n \quad (n \ge 0) $$
を満たす。一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題タイトル：三条件で定まる点と魂比率（上級）

平面上に、点 $A(0,0)$、点 $B(8,0)$、点 $C(2,6)$ がある。
点 $P(x,y)$ は次の条件を満たすものとし、解の一意性のため $y>0$ とする：

1. 距離比　$\displaystyle \frac{AP}{BP}=\phi$　（ただし $\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）
2. 角度条件　$\angle APC = 60^\circ$

点 $P$ の座標を求めなさい。
（解答は「x, y」の順に小数第2位まで。例：1.23, 4.56）
文
問題文を入力してください

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題

整数 $x,y$ と数列 $z_k=|x-k|+|y-k|$ に対し，次の命題は $xy\leqq 7!$ の反例を何組もつか．

• ある非負偶数 $k$ で $z_k\lt 2$ は，辺長 $x^3+8,\ y^3+8,\ 6xy+8$ の三角形が存在する必要条件である．

解答形式

半角数字で入力してください．