問題2

$S=$$\{$$\sqrt{1},\sqrt{2},\dots,\sqrt{n} $$\}$の部分集合であって、次を満たすものの個数をmとする。
・要素が3つ
・どの2つを選んでも、2つの比の値が有理数となる

n=mとなるnを全て求め、その総和を求めなさい。

次のルールで整数を10個1列に並べて書く
・左端は21である
・隣り合う2数について、右の数は左の数の2倍の数か、左の数から3を引いたものである
あり得る整数の列はいくつありますか

2種類のお菓子A、Bがそれぞれ24個ずつある、これをX, Y, Zの3人で余りなく分けることにした。ここで、ある人が1個ももらわないお菓子の種類があってもよい、X、Y、Zの3人のうちに、以下の条件をみたす2人が存在しないような分け方は何通りありますか。

条件:2人のうち1人はAをa個、Bをa'個もらい、もう1人はAをb個、Bをb'個もらうとき、a≤a'かつb≤b'かつa+b<a'+b'が成り立っている。

ボール100個をランダムに20人に分ける。10人が1組の生徒で、10人が2組の生徒である。ボールが全く貰えない人がいてもよい。全てのボールは区別できず、分け方は$ _{119}C_{19}$通りあるが、それぞれの分け方は同様に確からしい。
1組の生徒のうち、それぞれの持つボール数の総積をポイントとする。ポイントの期待値は互いに素なA,Bで$\frac{A}{B}$と表せるので、A+Bを解答せよ。

N×Nのマス目にNこの駒を置くと、ある面積N以上の長方形のエリアで、エリア内に駒が存在しないものは存在しなかった。このような駒の配置方法の総数をf(N)として、$\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty } f( i)$を計算して下さい。

以下の操作を数字が$100$以下になるまで繰り返し行います．
・下$2$桁の数字を取り除き、残った数字にかける．
たとえば，$2108$は，$21×8=168$となります．
このとき、$2$回目の操作までに数字が$100$になる数を今年の数と呼ぶことにします．
今年の数のうち、2026は何番目に小さいですか？
ただし、100は今年の数に含まれないものとします.

3つの空箱がある。次のルールで2人で交互に石を箱に入れる。
・どちらかの行動を行う
　・1つの箱に1つ石を入れる。
　・既に石が入っている1つの箱に、今入っている個数の石をその箱に入れる
(つまり、石の個数が倍になる)
・ただし、既に箱にN個以上入っている場合はこれ以上石を入れられない

全ての山の石の個数をそれぞれN以上にした方が勝ちである。後手必勝となる2025以下のNの総和を求めよ。

どの4頂点を選んでもそれが閉路にならない、800頂点の単純平面グラフの辺の数の最大値を求めよ。

n以下の全ての自然数の集合Sの部分集合Tは次を満たした。
・Tの任意の要素x,yについて、xyはTに含まれない。
nに対するTの要素数の最大値をf(n)とする。
このとき、ある人は命題Qnを唱えた。
「Tの要素数がf(n)となるTは1つしかない」
Qnが偽となる2025以下のnの総和を求めよ。

問題文

上から $i$ 段目 $(1 \leq i \leq 2026)$ に $i$ 個の正整数を並べて三角形を作る方法であって，どの段も総和が $2026$ となるようなものの個数を素数 $2029$ で割ったあまりを解答してください．

問題文

ある正整数 $n$ が今年の数であるとは $n=a^b-(a-1)^b$ とあらわせるような正整数の組 $(a,b)$ が存在しない数であるとします.例えば$2026$は今年の数です.
このとき,$2026$以下の今年の数はいくつありますか.

$3$ 点 $A,B,C$ はこの順で一直線に並んでおり，$AC,AB,BC$ を直径とする円をそれぞれ $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ とし，点 $B$ を通る直線と $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ の交点を，$P,Q,B,R,S$ の順に並ぶように定めると，
$$AB<BC,\quad AB=\sqrt{390},\quad QB=18,\quad BR=24$$
が成り立ちました．このとき，互いに素な正整数 $m,n$ を用いて $PB:BS=m:n$ と表されるので，$m+n$ の値を解答してください．