特別な演算子

問題文

$P=122333444455555666666777777788888888999999999 $とする。
$P$を素因数分解せよ。

解答形式

$P$の素因数の総積を半角数字で入力してください。
ただし、この問題は難しい計算をする必要がないことが保証されます。

問題文

$n^2+78n-79$ を $100$ で割った余りが平方数とならないような最小の正整数 $n$ を求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください（数字のみ）。

問題文

以下の $x$ に関する $100$ 次方程式の（重解を含む）$100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします．
$$x^{100}+x^{99}+2025x+12=0$$

このとき，以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{100} {\alpha_k}^{100}$$

解答形式

整数で解答してください．

補足

https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの14番の問題の改題です．

問題文

偶数桁の回文数のうち、素数であるものをすべて求めよ。

解答形式

答えの総和を解答してください。

${}$　西暦2026年問題第7弾です。見た目も実際もがっつり整数問題です。ひととき整数と戯れてみてください。
　なお、$2026$より大きい整数の素数判定が待ち受けています。適宜、素数表（たとえば https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_prime_numbers ）を利用するなり、Wolfram|Alpha（ https://www.wolframalpha.com ）を利用するなりしてください。

解答形式

${}$　解答は求める値をそのまま半角で入力してください。
（例）107 → $\color{blue}{107}$
　求められているのは平方数と素数に挟まれた数であることに注意してください。

問題文

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{100}=100$を満たす100個の非負整数の組$a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{100}$の全てについて、
$$\frac{1}{a_{1}!a_{2}!a_{3}!...a_{100}!}$$の総和を求めてください。

解答形式

答えが異なる自然数a,bを用いてa^b/b!という形で表されるため、a+bを回答してください。

ボール100個をランダムに20人に分ける。10人が1組の生徒で、10人が2組の生徒である。ボールが全く貰えない人がいてもよい。全てのボールは区別できず、分け方は$ _{119}C_{19}$通りあるが、それぞれの分け方は同様に確からしい。
1組の生徒のうち、それぞれの持つボール数の総積をポイントとする。ポイントの期待値は互いに素なA,Bで$\frac{A}{B}$と表せるので、A+Bを解答せよ。

問題文

ある神社ではおみくじを販売していて、おみくじの内容について次のようなことが分かっています。

・くじは2026本あり、それぞれに運勢が1つ書いてある。
・運勢は7種類あり、大吉、中吉、小吉、凶、大凶、吉、平である。
・(大吉の本数):(中吉の本数)=5:7
・(中吉の本数):(小吉の本数)=9:11
・(小吉の本数):(凶の本数)=7:4
・(凶の本数):(大凶の本数)=11:8
・(吉の本数):(平の本数)=5:2

平の本数を求めてください。

解答形式

答えの数字を半角数字で入力してください。

雑談

ここ3年ぐらい吉しか引いてないです。
(追記)今年も吉だったので4年連続です。

問題文

△ABCについて、Aから直線BCに下ろした垂足をD、点Bから直線CAに下ろした垂足をE、△ABCの垂心をHとしたとき以下が成立しました。$$AH=3,AE=2,AC=5$$△AHB:△HCDは互いに素な自然数a,bを用いてa:bと表せるのでa+bの値を解答してください。

解答形式

半角数字を入力してください。

問題文

$$\frac{2^{22}-22^2-4-44^4}{2 \times 22+4 \times 44}= \space ?$$$?$ に入る自然数を答えよ。

問題文

0,1,2,……,8 の数字から一つずつ選んでa,b,c,d,e,f,gに代入するという操作を考える。
数字の重複を許さないとき、十進表記された7桁の数abcdefgが3の倍数となる確率を求めよ。
ただし、a=0の場合も認めます。

解答形式

互いに素な正整数q,pを用いて
p/q と表せるため、p+qを解答してください。

問題文

正整数値に対して定義され正整数値をとる関数 $f(x)$ は，任意の正整数 $a, b, c$ において，以下を満たしました．
$$
f(a)+f(b)+f(c)=f(abc)+2
$$また，$f(15)=15$ を満たすとき，$f(2025)$ としてあり得る値の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．