整数問題　等式

問題文

正整数$N$を$7,10,13,16,19$で割った余りがそれぞれ$2,3,4,5,6$であるとします。このとき$N$を$1729$で割った余りを求めてください。

問題文

次の連立方程式において、x,yの値を求めよ
ただし、x>yとする
4x²+4x-4y²=-1
x²+6x+6y=61

解答形式

すべて半角でx=◯,y=◯と入力
分数は分子/分母と入力
例　x=1,y=-1/3

問題文

四角形$ABCD$があり、次の条件を満たします。

$∠A=∠B=∠C, ∠D=135°, BC=4\sqrt{6}, CD=8$

この四角形の面積$S$は$a + \sqrt{b}$の形で表されるので、$a + b$を解答してください。

解答形式

半角数字で答えをそのまま入力。

余談

問題に不備等あればtwitterのDMなどで気軽にお願いします。
Tex初めて使いました。
問題思いつくのは簡単なんですけど、解説は未だに上手く書けませんね…

問題文

以下の $x$ に関する $100$ 次方程式の（重解を含む）$100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします．
$$x^{100}+x^{99}+2025x+12=0$$

このとき，以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{100} ({\alpha_k}^{100}+{\alpha_k}^{99})$$

解答形式

整数で解答してください．

補足

https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの14番の問題と同じです．

問題文

$n$ を自然数とする。 $n^5+n+1$ が互いに異なる $4$ つの素数の積で表されるような $n$ のうち最小のものを答えよ。

問題文

以下の $x$ に関する $3$ 次方程式は相異なる $3$ 個の複素数解をもつので，それぞれの解を $\alpha,\beta,\gamma$ とします．
$$x^3-2^{2025}x^2+24x-2^{2023}=0$$

このとき，以下の値は整数になるので，その正の約数の個数を求めてください．
$$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)$$

解答形式

整数で解答してください．

補足

https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの31番の問題と同じです．

問題文

$\angle{ADC}=\angle{BCD}=90^\circ,BAD>90^\circ$なる台形$ABCD$について,
$$\angle{BAC}=90^\circ,AB=4,AC=3$$
が成立した.$ABCD$の面積を求めよ.

解答形式

求める値は互いに素な正整数$p,q$を用いて$\frac{p}{q}$と表せるので,$p+q$を解答してください.

問題

$AB=3$なる鋭角三角形$ABC$について, $AC$, $BC$の中点をそれぞれ$M$, $N$とすると, $AN=4$が成立した. また, 三角形$ANC$の外接円と直線$MN$との交点のうち, $N$でないほうを$D$とすると, $DC=9$が成立した. このとき, $AD$の長さの二乗は互いに素な正整数$a$, $b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので$a+b$を解答せよ.

問題文

$p,q$を素数とする。
$pq(p+q)$が平方数となるものをすべて求めよ。

解答形式

ありうる組$(p,q)$について$pq$の総和を半角数字で入力してください。

問題

$AB=AC$なる二等辺三角形$ABC$について, $A$から$BC$に下した垂線の足を$H$とし, 線分$AH$上に点$P$をとると,
$$
AP=5　PH=3　∠PBC=∠PAC
$$
が成立した. このとき, 三角形$ABP$の面積の2乗を解答せよ.

問題文

$P=122333444455555666666777777788888888999999999 $とする。
$P$を素因数分解せよ。

解答形式

$P$の素因数の総積を半角数字で入力してください。
ただし、この問題は難しい計算をする必要がないことが保証されます。

問題文

正の実数 $x,y,z$ が $x+y+z=xyz$ を満たしているとき,

$$\dfrac{x}{1+x^2}+ \dfrac{y}{1+y^2}+ \dfrac{z}{1+z^2}$$

の最大値を求めてください.

解答形式

求める値は互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて, $\dfrac{a \sqrt{b}}{c}$ と表せるから, $a+b+c$ を解答してください.