増減表ソムリエ①

問題文

aiueaiuの７字を並べるとき少なくとも1つの「ai」が「ue」よりも前にあるのは何通りか。

解答形式

例）半角英数字。

問題

解答形式

例）(1)はb√c/aとなるので、a,b,cの値をそれぞれ1,2,3行目に書いてください
⑵はdπ/eとなるので、d,eの値を4,5行目に書いてください

$401$ のようにすべての桁が平方数からなる正の整数を $fool$ 数と呼びます. $1000$ 桁の $fool$ 数のうち $7$ の倍数であるものの個数を $N$ としたとき$,$ $N$ を素数 $499$ で割った余りを求めてください.

問題文

点の定義は次をチェック(https://pororocca.com/problem/2047/)
円$X,X',ω$に接する円の内，小さい方の円$T'$の半径を求めよ．

解答形式

答えは互いに素な整数$a,b,c,d$を用いて，$\frac{a+b\sqrt{c}}{d}$と書けるので，$a+b+c+d$を求めて下さい．但し$d＞0$とします．
なお，半角で打ち込むこと．

問題文

以下の値を求めてください。
$$
\sum_{n=1}^{90}\sum_{k=1}^{n}\Big\lfloor{\frac{46}{91}+\frac{k-1}{n}}\Big\rfloor
$$

解答形式

答えは整数値になるので、半角数字で入力してください。

問題文

半径$15$の円$ω$についてある直径$AB$を考える．
$AB$を三等分する点を順に$P,Q$とし(つまり$A・P・Q・B$の順に点が並ぶ)，
$AP$を直径とする円$X$を描く．
また$AB$に直交する直径$CD$について同様に$R,S$を取り($C・R・S・D$の順)，$CR$を直径とする円$X'$を描く．
ここで円$X$の接線の内$CD$と平行で且つ円$X'$側のものを直線$F$，円$X'$の接線の内$AB$と平行で且つ円$X$側のものを直線$G$とする．
直線$F,G,$円$ω$に接する円$T$として考えられるものは$2$つあるが，そのうち小さい方の半径を求めよ．

解答形式

答えは整数$n,l$と平方因子を持たない自然数$m$で$n\sqrt{m}+l$と書ける．
$n+m+l$を求めて下さい．
全て半角で打ち込むこと．

追記

続編(normal)：https://pororocca.com/problem/2048/

【問題】

実数 $x, y, z$ が以下の連立方程式を満たすとする。

$$
x + y + z = 1
$$
$$
x^2 + y^2 + z^2 = 5
$$
$$
x^3 + y^3 + z^3 = 4
$$

(1) $x^4 + y^4 + z^4$ の値を求めよ。
(2) 自然数 $n$ に対して $S_n = x^n + y^n + z^n$ とおく。$S_{n+3}$ を $S_{n+2}, S_{n+1}, S_n$ を用いて表せ。
(3) $x^7 + y^7 + z^7$ の値を求めよ。
(4) $S_{2026}$ を $7$ で割った余りを求めよ。

※自動ジャッジのため、(2)の証明ができたら第2行には「導出完了」と入力してください。
·解答例　(1)が4,(2)が導出できた,(3)が7,(4)が1のとき
4
導出完了
7
1

問題文

xy平面上にて、中心が直線y=3x上にあり、直線2x+y=0に接し、点(2,1)を通る円の方程式は(x-a)^2+(x-b)^2=r^2である。
a、b、r^2の値をそれぞれ求めよ。

解答方式

a○b△R□
○△□のところに答えの数字を入力してください。
r^2はRと表記してください。
a=2 b=3 r^2=4の場合
a2b3R4と入力

以下の式の値が素数となるようなすべての正の整数の組 $(m,n)$ について, $mn$ の総和を求めてください.
$$
\dfrac{m^n-1}{m+n+7}
$$

問題文

$x$ の2次方程式 $x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの実数解を $\alpha, \beta$ （$\alpha > \beta$）とし、数列 ${a_n}$ を$$a_n = \alpha^n + \beta^n \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$$で定義する。以下の問いに答えよ。(1) $a_1, a_2, a_3$ の値を求めよ。また、$n \ge 1$ に対して $a_{n+2}$ を $a_{n+1}$ と $a_n$ を用いて表せ。(2) すべての自然数 $n$ に対して、次の等式（カッシーニの恒等式の拡張）が成り立つことを証明せよ。$$a_{n+1}^2 - a_{n+2} a_n = -12$$(3) 次の和 $S_n$ を、$a_1, a_2, a_{n+1}, a_{n+2}$ を用いて対数を使わずに（ひとつの対数の中にまとめた真数の形で）表せ。$$S_n = \sum_{k=1}^{n} \log_2 \left( 1 + \frac{12}{a_k a_{k+2} - 12} \right)$$(4) 数列 ${a_n}$ の一の位の数字を $c_n$ とする。数列 ${c_n}$ が周期性を持つことを示し、和 $T = \sum_{k=1}^{2027} c_k$ を求めよ。(5) $\alpha > \beta$ であることを用いて、任意の自然数 $n$ に対して次の不等式が成り立つことを示せ。$$a_n - 1 < \alpha^n < a_n$$さらに、$(2+\sqrt{3})^{2027}$ の整数部分の一の位の数字を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

非負の実数の数列 $\lbrace a_{n} \rbrace (n=0,1,2,\cdots)$は次の $3$ つの条件を満たしている.

条件 $1:$ $ a_{n+1}=2a_{n}+3 \lfloor a_{n} \rfloor$
条件 $2:$ $a_{100}$ は整数で,しかも $4$ の倍数である$.$
条件 $3:$ $0 \le a_{0} < 2$

$a_{0}$の取りうる値は $N$ 個あるので $,$ $N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を解答してください.

問題文

数列$\ a_{n}$は以下のように定義されます.
$$a_{1}=1,a_{n+1}=2a_{n}+2\cos\frac{n\pi}{3}$$
このとき,$$\displaystyle\sum_{k=1}^{50000}a_{k}$$の正の約数の個数を解答してください.

解答形式

整数で解答してください.