対称式ってここまで解ければいいんでしょうか…？

noishi 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2026年3月18日22:59 正解数: 1 / 解答数: 1 (正答率: 100%) ギブアップ数: 0
対称式
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【問題】

実数 $x, y, z$ が以下の連立方程式を満たすとする。

$$
x + y + z = 1
$$
$$
x^2 + y^2 + z^2 = 5
$$
$$
x^3 + y^3 + z^3 = 4
$$

(1) $x^4 + y^4 + z^4$ の値を求めよ。
(2) 自然数 $n$ に対して $S_n = x^n + y^n + z^n$ とおく。$S_{n+3}$ を $S_{n+2}, S_{n+1}, S_n$ を用いて表せ。
(3) $x^7 + y^7 + z^7$ の値を求めよ。
(4) $S_{2026}$ を $7$ で割った余りを求めよ。

※自動ジャッジのため、(2)の証明ができたら第2行には「導出完了」と入力してください。
·解答例　(1)が4,(2)が導出できた,(3)が7,(4)が1のとき
4
導出完了
7
1

ヒント1

(ヒント1) 3文字の対称式の問題です。まずは基本対称式 $e_1 = x+y+z$、$e_2 = xy+yz+zx$、$e_3 = xyz$ の値をすべて求めるのが定石かと思います。

ヒント2

(ヒント2) $x, y, z$ を解に持つ3次方程式 $t^3 - e_1t^2 + e_2t - e_3 = 0$ を作ります。この両辺に $t^n$ をかけることで、(2)の漸化式を導き出すことができます。(1)は(2)の漸化式から逆算して求めても構いません。

ヒント3

(ヒント3) (4)は、$7$ を法とする合同式（$\pmod 7$）を用いて、$S_1, S_2, S_3, S_4, \dots$ の値を順番に書き出してみましょう。必ずどこかで「ループ（周期性）」が現れるはずです。

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$$
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$$

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解答形式

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解答形式

答えは整数$n,l$と平方因子を持たない自然数$m$で$n\sqrt{m}+l$と書ける．
$n+m+l$を求めて下さい．
全て半角で打ち込むこと．

追記

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