解説
$(1)$
係数が左から順に$~1~,~-3~,~2~,~-3~,~1~$と左右対称になっているため，相反方程式であることがわかる．
$x^4-3x^3+2x^2-3x+1=0~$に$~x=0~$を代入してもこの等式は成立しないため，$~x~$で割ることができる．$x~$で割ると
$$x^2-3x+2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}=0$$
左辺を変形すると
$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-3\left(x+\frac{1}{x}\right)=0$$
$$\left(x+\frac{1}{x}\right)\left\lbrace\left(x+\frac{1}{x}\right)-3\right\rbrace=0$$
であるから
$$x+\frac{1}{x}=0~,~x+\frac{1}{x}=3$$
$$x^2+1=0~,~x^2-3x+1=0$$
この2つの2次方程式を解くと
$$\underline{x=\pm ~i~,~\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}}$$
$(2)$
(ルール)に従って点を取ると，4つの点は
$$(0,1)~,~(0,-1)~,~\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2},0\right)~,~\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},0\right)$$
である．$~y~$座標が最小である点は$~(0,-1)~$なので，これ以外の3点をすべて通る放物線を考える．
$~\left(\displaystyle\frac{3+\sqrt{5}}{2},0\right)~,~\left(\displaystyle\frac{3-\sqrt{5}}{2},0\right)~$を通るということから，放物線の式は$~a~$を実数として
$$y=a~\left(x-\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)$$
右辺を展開して
$$y=a(x^2-3x+1)$$
とあらわすことができる．
またこの放物線は点$~(0,1)~$を通るから，$~(x,y)=(0,1)~$を代入して
$$1=a(0^2-3\cdot0+1)$$
$$a=1$$
よって放物線の式は
$$y=x^2-3x+1$$
であることがわかる．
この放物線と$~x~$軸で囲まれた部分の面積は
$$S=\int_{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}^{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}~-(x^2-3x+1)~dx$$
1/6公式を用いて計算すると
$$S=\frac{1}{6}\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^3=\underline{\frac{5\sqrt{5}}{6}}$$
$(3)$
$~x~$軸周りの回転体の体積の公式
$$V=\pi\int_{\alpha}^{\beta} \left\lbrace f(x)\right\rbrace ^2dx$$
を用いて計算する．
この問題では$~y=f(x)=x^2-3x+1~$なので，求める体積$~V~$は
$$V=\pi\int_{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}^{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}~(x^2+3x-1)^2~dx$$
(本来は先頭にマイナスが付きますが2乗されるため省略)
この式を変形すると
$$V=\pi\int_{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}^{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}~\left(x-\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^2\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^2~dx$$
この形は，$\alpha=\displaystyle\frac{3+\sqrt{5}}{2}，~\beta=\displaystyle\frac{3-\sqrt{5}}{2}$としたとき，以下の1/30公式を適用できる．
$$\int_{\alpha}^{\beta}~(x-\alpha)^2(x-\beta)^2~dx=\frac{1}{30}(\beta-\alpha)^5$$
したがって，求める体積$~V~$は
$$V=\frac{\pi}{30}\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^5=\underline{\frac{5\sqrt{5}}{6}\pi}$$