全問題一覧
公開日時: 2025年10月31日23:50 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
ある円周上に点をランダムに無限個打ち，打った順に $A_1,A_2,A_3,\cdots$ とします．また，以下のルールに従い点つなぎを行います．
ルール
- ペン先を $A_1$ に置く．
- 現在のペン先が $A_i$ にあるとき，$A_i$ と $A_{i+1}$ を線分で結ぶ．このとき，ペン先は $A_{i+1}$ へと移動する．
- 途中で他の線分と端点を除いて交わってしまう場合，現在の線分を消して点つなぎを終了する．
引くことの出来る線分の本数の期待値を $E$，分散を $V$ としたとき $V=f(E)$ となる整数係数多項式 $f$ がただ $1$ つ存在するので，$|f(1685)|$ の値を解答してください．
解答形式
半角数字で解答してください
公開日時: 2025年10月31日0:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ
問題文
$f^{1031}(x)=f(x)$を満たし、かつ$f(1031)=1031$である多項式関数$f(x)$をすべて求めよ。
ただし、$f^{1031}(x)=\underbrace{f(f(\cdots f}_{1031個}(x)\cdots))$とします。
解答形式
簡単な証明もお願いします。
公開日時: 2025年10月31日0:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$0$以上$9$以下の整数を順番を区別して$1031$個選び、それらを$a_1,a_2,a_3,…,a_{1030},a_{1031}$とする。(重複も許す)
$a_1+a_2+a_3+…+a_{1030}+a_{1031}$が$9$で割り切れない奇数となるような組$(a_1,a_2,a_3,…,a_{1030},a_{1031})$の個数を求めよ。
解答形式
条件を満たす組$(a_1,a_2,a_3,…,a_{1030},a_{1031})$の個数を$N$個とします。$N$の各桁の和を半角数字で入力してください。
公開日時: 2025年10月31日0:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
カボチャ$10$個とキャンディ$31$個を円周上に並べる方法は何通りあるか。
ただし、カボチャとキャンディはどちらも区別できない。
解答形式
半角数字で入力してください。
公開日時: 2025年10月31日0:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
正$10$角形が半径$31$の円に内接している。
正$10$角形の面積を求めよ。
解答形式
正$10$角形の面積は互いに素な正整数$a,b$及び正整数$c$と平方因子をもたない正整数$d$を用いて$\dfrac{b\sqrt{c-2\sqrt{d}}}{a}$と表されるので、$a+b+c+d$の値を半角数字で入力してください。
公開日時: 2025年10月31日0:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$x,y$を非負整数とする。
$10x+31y=1031$
を満たす組$(x,y)$をすべて求めよ。
誤って第1問と第3問の答えを逆で設定していました。大変申し訳ございません。
解答形式
組$(x,y)$について、$x+y$の総和を半角数字で入力してください。
公開日時: 2025年10月31日0:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
数列${a_n}$が$$a_1=\frac{10}{31},a_{n+1}=\frac{(n+1)^n}{n^n}a_n$$を満たしている。
$a_{1031}$の値を求めよ。
誤って第1問と第3問の答えを逆で設定していました。大変申し訳ございません。
解答形式
$a_{1031}$の値は互いに素な整数$p,q$を用いて$\dfrac{p}{q}$と表されるので、$pq$が$2025$で割り切れる回数を半角数字で入力してください。