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問題文
三角形 $ABC$ において，角 $A$ の大きさは $120^\circ$ であり， $3$ 辺の長さ $BC, CA, AB$ はすべて正の整数です．さらに，辺 $CA$ と辺 $AB$ の長さの差はちょうど $1$ です．
このような条件を満たす三角形のうち，辺 $BC$ の長さが小さい方から数えて $5$ 番目のものについて，辺 $BC$ の長さを解答してください．
解答形式
半角左詰めでお願いします
正の整数 $n$ に対して, 以下の条件をすべて満たす正の整数の組 $(x, y)$ の個数を $f(n)$ と定めます.
- $\mathrm{lcm}(x, y) = n$
- $x$ は $y^2$ の約数である
- $y$ は $x^2$ の約数である
$f(n) = 15$ を満たす正の整数 $n$ のうち, 小さい方から数えて $10$ 番目のものを求めてください.
問題文
以下の $2$ つの条件をともに満たす正の整数 $x$ の総和を求めてください．
- $\sqrt{105625 - x^2}$ は整数である．
- $x$ と $\sqrt{105625 - x^2}$ の最大公約数は素数である．
解答形式
半角左詰めでお願いします
問題文
$2$ 以上の整数 $n$ が以下の条件を満たすとき, $n$ を「頑固な数」と呼びます.
- $x^3 \equiv 1 \pmod n$ を満たす任意の整数 $x$ に対し, $x \equiv 1 \pmod n$ が成立する.
$(29!)^2$ の正の約数のうち, 「頑固な数」はいくつありますか.
解答形式
半角左詰めでお願いします
問題文
$3^{20}+2^{25}=3520338833$ は素因数を $3$ つもつので，それらの総和を解答してください．
解答形式
半角で入力してください。
問題文
正の実数$x,y,z$について$,$
$$\dfrac{1}{1+x}+ \dfrac{1}{1+y}+ \dfrac{1}{1+z}=1$$
を満たしているとき$,$
$$\dfrac{(1+x)(1+y)(1+z)}{(x+y+z+2)^2}$$
の最大値を求めてください。
解答形式
答えは分数(既約)になるので分母と分子の和を半角数字で入力してください。
問題文
円 $\Gamma$ があり，この接線 $l,m$ を引いたところこれらは点 $H$ で直交しました．また，$l,m$ と $\Gamma$ の接点をそれぞれ $A,B$ とし，$\Gamma$ の内部に $\angle{APB}=90^\circ$ となる点 $P$ をとり，さらに直線 $AP,BH$ の交点を $Q$ ，直線 $AH,BP$ の交点を $R$ とします．このとき，$3$ 点 $A,P,Q$ はこの順に並び，三角形 $ABQ$ の面積が $72$ ，$PR=30$ となりました．線分 $BR$ の長さを求めてください．
解答形式
答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．
問題文
正六角形 $ABCDEF$ の内部に，正六角形 $GHIJKL$ があります．また，平行な $2$ 直線 $WX,YZ$ の距離を $f(WX,YZ)$ とします．このとき，これらは以下をすべて満たしました．
- $AB\parallel GH,BC\parallel HI$
- $f(AB,GH)\lt f(AB,KJ)$
- $f(AB,GH)+f(BC,HI)+f(CD,IJ)+f(DE,JK)+f(EF,KL)+f(FA,LG)=8$
このとき，$2$ つの正六角形の一辺の長さの差の $2$ 乗を求めてください．
解答形式
答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．