全問題一覧
問題文
$x$ に関する $6$ 次方程式
$${x^6+3x^5+9x^4+27x^3+81x^2+243x+2026=0}$$ の重複を含めた $6$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_6$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{6}\alpha_{k}^{14}}$$
解答形式
整数で解答してください．
問題文
数列 ${\lbrace F_n \rbrace(n=0,1,...)}$ を ${F_0=1,F_1=1,F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$ ${(n \ge 2)}$ で定めます．
$x$ に関する $15$ 次方程式
$${x^{14}+x^{13}+2x^{12}+...+233x^2+377x+610\left(=\sum_{m=0}^{14}F_{m}x^{14-m}\right)=-x^{15}+2026}$$
の重複を含めた $15$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{15}$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{15}\alpha_{k}^{15}}$$
解答形式
整数で解答してください．
問題文
$x$ に関する $10$ 次方程式
$${x^{10}+2x^9+4x^2+3x-2026=0}$$ の重複を含めた $10$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{10}$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{10}\frac{1}{\alpha_k}}$$
解答形式
求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．
問題文
${x}$ に関する ${100}$ 次方程式
$${x^{100}+27x^{99}+9x^{98}+243=0}$$ の重複を含めた ${100}$ 個の複素数解を ${α_1, α_2, ...,α_{100}}$ とします．以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{100}α_k^2$$
解答形式
整数で解答してください．
問題文
$x$ に関する $12$ 次方程式
$${x^{12}-12x^{11}+66x^{10}-220x^{9}+...+66x^2-12x+1\left(=\sum_{n=0}^{12}{}_{12}C_n(-x)^n\right)=2}$$ の $12$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{12}$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{12}\alpha_{k}^{15}}$$
解答形式
整数で解答してください．
問題文
$x$ に関する $2025$ 次方程式
$${x^{2025}+x^{2024}+...+x+1=0}$$
の $2025$ 個の複素数解を ${\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{2025}}$ とします．
$${S_n=\sum_{k=1}^{2025}\alpha_k^n}$$ とするとき，以下の値を求めてください．
$${\sum_{n=0}^{20261231}S_n}$$
解答形式
整数で解答してください．
問題文
$x$ に関する $2026$ 次方程式
$${2026^2{}_{2026}\mathrm{C}_{2026}x^{2026}+2025^2{}_{2026}\mathrm{C}_{2025} x^{2025}+...+1^2{}_{2026}\mathrm{C}_{1}x \left(=\sum_{k=1}^{2026}(k^2 {}_{2026}\mathrm{C}_k) x^k\right)=1000x+2026}$$ の重複を含めた $2026$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{2026}$ とします．
$$S_m=\sum_{k=1}^{2026}\alpha_{k}^{m}$$ とするとき，以下の値を求めてください．
$$\prod_{n=1}^{2024}\left(\left(\sum_{m=0}^{n} {}_{n}\mathrm{C}_{m}S_{m}\right)-1\right)$$
解答形式
整数 $t$ の正の約数の個数を $d(t)$ で表すものとします．
求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので，$8d(b)-d(a)$ の値を解答してください．
問題文
正整数 $n$ であって以下を満たす $n$ と互いに素な正整数 $m$ が存在するものの総和を求めてください．
- $\dfrac mn$ の小数第 $i$ 位を $a_i$ とすると，正整数 $j$ であって任意の正整数 $k$ に対して $a_k=a_{j+k}$ を満たすようなものが存在して，かつその最小値が $6$ である．
解答形式
半角で解答してください．
2026/3/8 23:48に問題の不備解消のため太字部分を追加しました。
問題文
$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ があり, 垂心を $H$ とします. $B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $E,F$ とし, 直線 $EF$ と直線 $AH,BC$ との交点をそれぞれ $G,K$ とすると, 三角形 $FKH$ の外接円と三角形 $EGH$ の外接円は再び線分 $BC$ 上の点 $X$ で交わりました.
$$KB=1 EG:GK=4:5$$
が成り立つとき, 線分 $GX$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.
解答形式
半角で入力してください。
問題文
三角形 $ABC$ において，角 $A$ の大きさは $120^\circ$ であり， $3$ 辺の長さ $BC, CA, AB$ はすべて正の整数です．さらに，辺 $CA$ と辺 $AB$ の長さの差はちょうど $1$ です．
このような条件を満たす三角形のうち，辺 $BC$ の長さが小さい方から数えて $5$ 番目のものについて，辺 $BC$ の長さを解答してください．
解答形式
半角左詰めでお願いします
問題文
$2$ 以上の整数 $n$ が以下の条件を満たすとき, $n$ を「頑固な数」と呼びます.
- $x^3 \equiv 1 \pmod n$ を満たす任意の整数 $x$ に対し, $x \equiv 1 \pmod n$ が成立する.
$(29!)^2$ の正の約数のうち, 「頑固な数」はいくつありますか.
解答形式
半角左詰めでお願いします
問題文
以下の $2$ つの条件をともに満たす正の整数 $x$ の総和を求めてください．
- $\sqrt{105625 - x^2}$ は整数である．
- $x$ と $\sqrt{105625 - x^2}$ の最大公約数は素数である．
解答形式
半角左詰めでお願いします