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N×Nのマス目にNこの駒を置くと、ある面積N以上の長方形のエリアで、エリア内に駒が存在しないものは存在しなかった。このような駒の配置方法の総数をf(N)として、$\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty } f( i)$を計算して下さい。

※この問題は人力で解けることを想定していない可能性があります。

平安時代には次のルールがある。
・男性が3日連続女性の家に通ったらその女性と結婚が成立する。
・男性が3年(1095日)間一切女性の家に通わなかったらその女性と離婚が成立する。
1人の男性が同時に女性と結婚できる人数は最大X人であり、女性の家に通いはじめてからX人の女性と結婚するのに必要な日数の最小値はY日である。XとYの10進数における文字列の結合を解答しなさい。ただし、1人の男性が1日に通える女性の家は1つだけである。
(寿命や重婚に対する刑罰は考慮しないものとする)

Sを0以上10以下の自然数の集合として、
P君は、xy座標平面$S^2$の盤面上で、スタートからゴールへ移動する。xが増加する方向が右で、yが増加する方向が上である。6種類の点が存在する。
スタート…(0,0)で、P君が可能な動きはバイオレットと同じである。
ゴール…(10,10)
ネイビー…スタート、ゴール以外の点について、xがyの倍数なら(x,y)はネイビーであり、xがyの倍数でないなら(x,y)はネイビーでない。P君はネイビーに移動できない。
バーミリオン…P君がこの点にいるとき、P君は1つ上へ移動するか、2つ右、1つ下に飛んで移動することができる。
バイオレット…P君がこの点にいるとき、P君は1つ右へ移動するか、2つ上、1つ左に飛んで移動することができる。
アイボリー…P君はアイボリーに移動できない。アイボリーは全部で5個存在する。

ただし、P君が移動して座標平面$S^2$から飛び出てはいけない。
全ての$S^2$に含まれる点のうち、スタート、ゴール、ネイビー以外の点に自由にバーミリオン、バイオレット、アイボリーのいずれかを塗ることができ、その盤面AについてP君がスタートからゴールに行く方法の総数をF(A)とする。
F(A)の最大値をXとし、
全ての盤面Aについて、F(A)の総和をYとし
Yを10007で割った余りをZとして、XとZの10進法における文字列の結合を求めよ。

どの4頂点を選んでもそれが閉路にならない、800頂点の単純平面グラフの辺の数の最大値を求めよ。

3つの空箱がある。次のルールで2人で交互に石を箱に入れる。
・どちらかの行動を行う
　・1つの箱に1つ石を入れる。
　・既に石が入っている1つの箱に、今入っている個数の石をその箱に入れる
(つまり、石の個数が倍になる)
・ただし、既に箱にN個以上入っている場合はこれ以上石を入れられない

全ての山の石の個数をそれぞれN以上にした方が勝ちである。後手必勝となる2025以下のNの総和を求めよ。

問題文

$\omega$ を $1$ の $3$ 乗根のうち $1$ でないものの一方とします．
$$S={\sum_{k=1}^{2026} \frac{1}{k^2+(2\omega+1)k-1}}$$
としたとき，$\left|\frac{S-1}{S}\right|$ を求めてください．

解答形式

求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ を解答してください．

問題文

ある演算子⭐︎を次のように定めます。
$$
a⭐︎b=ab+a+b
$$
このとき、$x$についての方程式$x⭐︎(x+2)=-1$を解きなさい。

解答形式

「$x=$」の形から始めなさい。

問題文

以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=0}^{2026} \frac{k^2}{k^2-2026k+1013×2026}$$

解答形式

整数で解答してください

問題文

$1$ 以上 $10^7$ 以下の $11$ の倍数全てに対して，それぞれの各位の和の総和を求めてください．

問題文

$2024!$ 以上の正整数 $n$ のうち，$\dfrac{2025!}{n}$ の小数部分が $\dfrac{2025!-67}{2025!}$ より大きいものの個数を求めてください．

問題文

実数係数 $10$ 次多項式 $f(x)$ は以下を満たしている．
$$f(0)=2025$$$$f(1)=25$$

$f(x)=0$ の（重複度を込めた）$10$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{10}$ とする．
$\frac{1}{\alpha_1},\frac{1}{\alpha_2},...,\frac{1}{\alpha_{10}}$ を根にもつ実数係数 $10$ 次多項式のうち，最高次の係数が $1$ であるものを $g(x)$ としたとき，$g(1)$ を求めよ．

解答形式

求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください

問題文

$m$と書かれたカードからなるカードの束を$m$の束と呼ぶことにします。

$1$の束、$2$の束、$3$の束、$4$の束、$5$の束、$6$の束、$7$の束、$8$の束、$9$の束　が$1$つずつあります。

$A$さんは異なるカードの束を$9$つまで選び、その後$A$さんはこれらのカードの束に対して以下の操作を$n$回行います。
操作
選んだカードの束のうち一つを選びカードを$1$枚引く。

操作を$n$回終えた時点で$A$さんは$n$枚のカードを持っています。$A$さんは持っているカードに書かれている数字の総和と総積が等しくなるようにカードを引きたいです。

このようなカードの引き方が存在する束の選び方の総数を求めてください。

ただし、$n$は$2$以上の整数とし、カードの束にカードはいくらでもあるとします。

解答形式

半角数字で入力してください。