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$$\int ^{\frac{3}{2}} _{-\frac{5}{3}}{(6x^2+x-15)}dx$$

$$\int_{-\pi}^\pi\sin{x}dx$$

$$\int\frac{x^4+4}{x^2+2x+2}dx$$

$$\int_5^7\frac{\log_2x}{\log_4x}dx$$

$$y={x^{x}}^{x}の導関数y'=\frac{dy}{dx}を求めよ。$$

問題文

数列 {${a_n}$} を以下のように定義する。

$$ a_{n+3} = a_{n+2}+ a_{n+1} - a_n,\quad a_1 = \alpha,\ a_2 = \beta, a_3 = \gamma $$

ただし、$\alpha,\ \beta,\ \gamma\ $は実数である。

1. $n$ が奇数のとき、$a_n$ は $n,\ \alpha,\ \gamma\ $のみで決定する（つまり$\ \beta\ $に依らない）ことを示せ。
2. この数列 {${a_n}$} の一般項を求めよ。

解答形式

入試本番や模試のような形で、記述形式で解答してください。
少し遅くなってしまうかも知れませんが、採点もさせていただきます。

注意

解説は正解者のみに公開される設定になっています。ヒントもほとんど解説みたいなものなので、正解できなかった場合もヒントをみて納得してもらえるとよいと思います。（勿論、解答の再投稿も歓迎します。）

本問の場合、ヒント1~3が1.の、4~6が2.のヒントになっています。

もし余裕があれば...

• 問題の感想を教えてくれると嬉しいです。特に、難易度感や、教育的意義についてコメントしてくれると助かります。

• 例えば、以下のような観点でコメントしてくれると嬉しいです。
  （もちろん、全てのテーマでコメントせずとも大丈夫ですし、他の観点からのコメントや批判も歓迎します）

  1. この設問が完答できる生徒のレベル感は？（ヒント有、無それぞれ）
  2. ヒントありとして、授業に用いるとしたらどうか？
  3. ヒント無しで大学入試で出題されるとしたらどうか？

x,y,nを自然数とする.底面の半径がx,高さがyの円錐の体積をV,表面積をSとしたとき,S,Vが次の条件を満たすようなx,yを全て求めよ.
（条件）S=V=nπ

問題

Web検索を駆使して、以下の謎を解いてください。

解答形式

「答」に当てはまる日本語の文(全体)を入力してください。■には、ひらがな・カタカナ・漢字いずれか１文字が当てはまります。
回答例１：バレーボールの記録が残っていた。
回答例２：フランス革命の記録が残っていた。

参考

本問は「第四境界」のコンテンツ「Ds試験」のオマージュです。

第四境界：https://www.daiyonkyokai.net/
これまで出題された問題の解説：https://note.com/daiyonkyokai/n/n3da71c6b8ca5

問題

Web検索を駆使して、以下の謎を解いてください。

解答形式

「答」に当てはまる文字列をアルファベットの大文字または小文字で入力してください。答：に続く■には、アルファベットの大文字または小文字１文字が当てはまります。
回答例１：Nintendo
回答例２：MICHELIN

参考

本問は「第四境界」のコンテンツ「Ds試験」のオマージュです。

第四境界：https://www.daiyonkyokai.net/
これまで出題された問題の解説：https://note.com/daiyonkyokai/n/n3da71c6b8ca5

問題

Web検索を駆使して、以下の謎を解いてください。

解答形式

「答」に当てはまる文字列を日本語で入力してください。■には、ひらがな・カタカナ・漢字のいずれか１文字が当てはまります。
回答例１：彼の妻と子供
回答例２：きのことゴミ

参考

本問は「第四境界」のコンテンツ「Ds試験」のオマージュです。

第四境界：https://www.daiyonkyokai.net/
これまで出題された問題の解説：https://note.com/daiyonkyokai/n/n3da71c6b8ca5

OMCB030-C(https://onlinemathcontest.com/contests/omcb030/tasks/4587)
のもう一つの案です.

$2$ 以上の整数 $n$ に対し，$n$ が持つ相異なる素因数の総積を $\mathrm{rad}(n)$ で表します．例えば，$\mathrm{rad}(18)=2×3$ です．次の等式を満たす $2$ 以上の整数 $m$ の総和を求めてください．

$$m=\mathrm{rad}(m)+240$$

問題文

$$ I_n=\int_{1}^{n}\log x dx $$
とする。ただし$n$は非負の整数。以下の設問に答えよ。ただし、必要ならば以下の式を用いてよい。
$$ e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$$

1. $I_n \leq \log n! \leq I_{n+1}$を示せ。(20点)
2. $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n!}{(n+1)^n}$を求めよ。(30点)

解答形式

入試本番や模試のような形で、記述形式で解答してください。
少し遅くなってしまうかも知れませんが、採点もさせていただきます。

注意

解説は正解者のみに公開される設定になっています。ですが、ヒントの欄に書いてあることと全く同じなので、正解できなかった場合もヒントをみて納得してもらえるとよいと思います。

もし余裕があれば...

• 問題の感想を教えてくれると嬉しいです。特に、難易度感や、教育的意義についてコメントしてくれると助かります。

• 例えば、以下のような観点でコメントしてくれると嬉しいです。
  （もちろん、全てのテーマでコメントせずとも大丈夫ですし、他の観点からのコメントや批判も歓迎します）

  1. この設問が完答できる生徒のレベル感は？（ヒント有、無それぞれ）
  2. ヒントありとして、授業に用いるとしたらどうか？
  3. ヒント無しで大学入試で出題されるとしたらどうか？