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問題文

素数 $p,q,r$ と正整数 $n$ の組 $(p,q,r,n)$ であって，

$$p^n-4q^4=r^4$$

を満たすものすべてについて，$pqrn$ の値の総和を解答してください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

平面上に正 $27$ 角形があります．これの相異なる $4$ つの頂点を選ぶ方法であって，それらを頂点に持つ四角形の内角の大きさがいずれも度数法で整数となるようなものは何通りありますか．ただし，回転や裏返しによって一致するものは区別します．

解答形式

答えは非負整数値となるので，その値を半角で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ について，角 $A,B,C$ 内の傍接円をそれぞれ $\Gamma_A,\Gamma_B,\Gamma_C$ とします．また，$\Gamma_A$ と直線 $AB,AC$ との接点をそれぞれ $P,Q$ ，$\Gamma_B$ と直線 $BC,BA$ との接点をそれぞれ $R,S$ ，$\Gamma_C$ と直線 $CA,CB$ との接点をそれぞれ $T,U$ とします．線分 $PS,QT,RU$ の長さがそれぞれ $25,26,29$ であるとき，三角形 $ABC$ の周長を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ について，その重心を $G$ としたところ，

$$AB^2-GB^2=20，AC^2-GC^2=26$$

が成立しました．このとき，線分 $AG$ の長さの $2$ 乗を求めてください．

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を半角で解答してください．

問題文

数列 $\lbrace a_n \rbrace_{n=1,2,\dots}$ が $a_1=-2,a_2=1$ を満たし，さらに次の条件を満たすとき，$a_{100}$ の値を求めてください．

• 任意の正整数 $k$ について，$a_k+a_{k+1}+a_{k+2}=k$ が成り立つ．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$100$ 以下の正整数 $n$ であって，$4$ つの実数 $a,b,c,d$ が $4a+3b+2c+d=n$ を満たして動くとき，

$$a^2+b^2+c^2+d^2+a+2b+3c+4d$$

の取りうる最小値が整数となるものすべての総和を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

正の実数 $x,y$ に対して $x^2-y^2=1$ が成り立っています．$\sqrt{\frac{y}{x}+1}+\sqrt{\frac{1}{x}+1}$ の最大値を求めてください．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

$a,b$ を $a\leqq b\leqq 30$ を満たす素数とします．
$$\frac{a^3+b^3+8}{a+b+2}$$
が整数となる $a,b$ の組をすべて求めてください．

解答する数値

求めた全ての組について，$a\times b$ を計算し，以下の解答形式に合わせその総和を解答してください．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

$\angle BAC > 90^\circ$ なる鈍角三角形 $ABC$ とその外接円 $\Gamma$ があります．点 $B$ における円 $\Gamma$ の接線 $l$ 上に点 $D$ を $\angle DBC > 90^\circ$ となるように取り，線分 $DC$ と 円 $\Gamma$ の交点を $E$ とします．すると以下が成り立ちました．
$$2\angle DBE = \angle EBC，BD=15，DE=9，AB=BE$$
この時，$AB$ の長さを求めて下さい．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

数列 ${a_n}$ は $1\sim 100$ の正整数の並び替えであり，以下が成り立っています．

• $1\leqq m\leqq 99$ に対して$a_{m}+a_{m+1}\equiv 1\pmod{2}$
• $1\leqq n\leqq 98$ に対して$a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}\equiv 0\pmod{3}$

数列 ${a_n}$ としてありうるものは何通りありますか．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

漸化式
$$a_{n+2}=(n+3)a_{n+1}-na_n，a_1=0，a_2=2$$
があります．$a_{n}$ が $n$ で割り切れない $50$ 以下の $n$ の個数を求めてください．ただし，$n=1$ を含みます．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

図 $A$ の $16$ 個の正三角形のマスからなる図形について，その各マスを白または黒のいずれか $1$ 色で塗
ることを考えます．以下の条件を満たす塗り方をすべて求めてください．ただし，回転させて一致するものは同じと考えます．また，図は印刷して思考に用いてもらっても構いません．

• 図 $B$ に示す図形と合同であるような図 $A$ の任意の4マスの組の選び方は $8$ 通りあるが，その組の塗り方は互いに異なる．

ただし，回転させて一致する塗り方は同じとして考え、そのような図 $B$ の塗り分け方も8通りある．

解答する数値

すべての塗り方に対し，黒で塗られるマスに書いてある数字の和を求め，その総積を以下の解答形式に合わせて解答してください．

回転させて一致するものは同じと考えるため，この数値は点対称にしてあります．つまり，白で塗られるマスに書いてある数字の和を求め，その総積を解答しても同じ値になります．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$