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問題文
$3×5$のマス目がたくさんあり、これを「カード」と呼びます。
いま、1以上2025以下の整数の中から異なる2つの自然数を選び、$(i,j)$(ただし$i<j$)とします。
この時、「カード」を何枚か使うことで$i×j$のマス目を以下の「条件」を全て満たすように埋めることができるような$(i,j)$の組は何通りですか。
「条件」
・マス目の中で、「カード」同士が重なっている部分が存在しないこと。
・マス目から「カード」がはみ出した部分が存在しないこと。
・マス目の中で、「カード」が置かれていない場所が存在しないこと。
解答形式
半角数字で解答してください。
問題文
この問題は、Prime Prime Prime (Easy)と一部分一致しているため、相違点を赤色で強調しています。
また、必要とされる素数表の大きさがOMCに乗っているものよりも大きいため、この問題に限り、外部の素数表の閲覧を許可します。
$n$ 桁の素数であって，すべての $i,j$ $ (1 \le i $ ＜ $ j \le n)$ において， $i$ 桁目から $j$ 桁目までが素数である数のうち，最大のものを答えてください．
例えば， $23$ は $23(i=1,j=2)$ が全て素数なので条件を満たします．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
$0$ から $9$ まで書かれたカードがそれぞれ $1$ 枚ずつ $10$ 枚あります。これらを $1$ 列に並べ替えてからいくつかの部分に区切ると、それぞれの部分を $10$ 進数で読んだ数はすべて素数になりました。このとき、できた素数の総和としてありうる最小の値を求めてください。ただし、それぞれの部分の最初のカードに書かれた数は $0$ でないものとします。
解答形式
半角数字で答えてください。
問題文
実数係数多項式で次数が $9999$ 以下の $P(x)$ について，$(P(1),P(2), \dotsc P(10000))$ が $(1,2, \dotsc 10000)$ の並べ替えであるとき，$P(10001)$ が考えられる最大値をとるような $P(x)$ の個数を素数 $9973$ で割ったあまりを解答してください．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
$n$を素因数分解したときの2の指数を$v_{2}(n)$と表します。
この時、$$v_2\left( \prod_{k=1}^{2025} (5^k - 1) \right)$$の値を求めてください。
解答形式
半角数字で入力してください。
問題文
$\quad$鋭角三角形 $ABC$ において， $B$ を通り直線 $AC$ に平行な直線上に点 $P$ を， $C$ を通り直線 $AB$ に平行な直線上に点 $Q$ をそれぞれとると， $A,P,Q$ はすべて直線 $BC$ に関して同じ方にあり， $\angle APB=\angle AQC$ が成立した．また，三角形 $PAB$ の外接円と三角形 $QAC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とし，直線 $PQ$ と直線 $BX,CX$ の交点をそれぞれ $R,S$ とすると，
$$\cos\angle BXC=\frac 15，CX-BX=5，XR:XS=5:3$$が成立した．さらに，線分 $BC$ の中点を $M$ ，直線 $AX$ と三角形 $PXQ$ の外接円が再び交わる点を $T$ とし，三角形 $TPQ$ の内心を $I$ とすると，直線 $AX$ と直線 $MI$ は平行であった．このとき，線分 $XI$ の長さを求めよ．
解答形式
求める値の二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので， $a+b$ を半角数字で解答してください．
問題文
$\quad$三角形 $ABC$ において，内心を $I$ ，角 $A$ 内の傍心を $I_A$ ，外心を $O$ とすると，直線 $II_A$ と直線 $IO$ は垂直に交わった．線分 $BC$ の中点を $M$ ，線分 $II_A$ と線分 $BC$ の交点を $K$ とし，三角形 $MKI_A$ の重心を $G$ とすると， $$KM=1，KG=3$$が成立した．このとき，線分 $BC$ の長さを求めよ．
解答形式
求める値の二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので， $a+b$ を半角数字で解答してください．
問題文
任意の自然数$i$に対して、$z_i$は$z_i^6=1$を満たす複素数である。複素数$w$について、$w= \sum_{k=1}^{100}z_k$とするとき、$w$がとりうる値の個数を求めよ。
解答形式
自然数(半角入力)のみで答えてください。