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It is for me to bear this item (α) mind every day.

(α)に当てはまる語を選んで下さい。

(1)to
(2)of
(3)at
(4)in

$$
f(m)=\int_0^{\sqrt{m^2+4m+4}}log_{2}{8}^xdx\\について積分し、f(４)を答えて下さい。
$$

Apart (α）this story , those are a very fan all the time.

(α）に当てはまる語を選んで下さい。

(1)into
(2)off
(3)on
(4)from

$$
\int_{0}^{cos60°}log_{2}{8}^{\sqrt{\sqrt{\sqrt{{m}^8+8{m}^7+28{m}^6+55{m}^5+54{m}^4+41{m}^3+43{m}^2+23{m}+1}}}}dm\\について積分して下さい。
$$
$$
(1)\frac{11}{6}(2)\frac{13}{7}(3)\frac{15}{8}(4)\frac{17}{9}
$$

問題文

図のような展開図を組み立てできる立体の体積は何㎤ですか。ただし、図は辺の長さが等しい正三角形と正方形と正六角形を組み合わせた図形で、正方形の面積は18㎠です。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

$$
\int_{0}^{log_{2}{1024}}\quad({\sqrt{{m}^{2}+4m+4})}dm\\について積分して下さい。
$$

$$
\int_{0}^{log_{2}{4}}\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{m}^{1048576}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}dm\\を積分して下さい。
$$

$$
\int_{0}^{log_{2}{8}}\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{{m}^{1024}}}}}}}}}dmを\\積分して下さい。
$$
$$
(1)\frac{241}{2}(2)\frac{243}{3}(3)\frac{245}{5}(4)\frac{247}{6}
$$

$$
(\frac{1}{\sqrt{2}})^{mlog_{2}8^{log_{3}27}}=1024のｍの値を答えて下さい。\\このとき、解より小さい値で最も小さい整数を答えて下さい。
$$

問題文

$n$を自然数とする。$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} n^k$を$8$で割った余りを$a_{n}$、 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$とする。すべての$n$に対して$a_{n+l}=a_{n}$が成り立つような自然数$l$の最小値と$S_{m+2025}=2S_{m}$が成り立つような自然数$m$の最大値を求めよ。

解答形式

1行目に$l$を,2行目に$m$を半角英数字で解答してください。例えば$l=123,m=456$とする場合

123
456

としてください。

問題文

以下の条件１を満たす正整数列 $a_n\ (n \ge 1)$ を考える.

条件１：

$\cdot \ n\ge 1$ なる正整数 $n$ において, $a_{n+1}$ は $a_{n}$ 以下の正整数であって $a_{n}$ と互いに素なものの個数に等しい.

適切に $a_1$ を決めると以下の条件２が成立しました. このときの $a_1$ としてありうる値の個数を解答してください.

条件２：

$\cdot$ $a_1$ の任意の素因数は十進数表記で $1$ 桁である.

$\cdot$ 任意の $i,j \ge N$ なる整数 $(i,j)$ の組について, $a_i=a_j$ となる最小の $N$ が $N=13$ である.

解答形式

解答を非負整数で入力してください．

問題文

三角形 $ABC$ の辺 $BC$ の中点を $M$ とし，辺 $AB,AC$ 上にそれぞれ点 $D,E$ をとると，以下が成立した：

$$\angle{DME}=90^{\circ}，AD=6，DB=2，AE=7，EC=3$$

このとき，辺 $BC$ の長さの $2$ 乗を求めてください．

解答形式

非負整数で解答してください．