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問題文

$1,\ldots,2024$ の並べ替え $a_1,\ldots,a_{2024}$ に対して，スコアを
$$
\sum_{k=1}^{2024} (2024a_k-k-1)(a_k-2024k)
$$
で定めます．$2024!$ 通りの並べ替えに対して，スコアとしてあり得る値はいくつありますか．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

凸五角形 $ABCDE$ は以下を満たします．
$$
\begin{cases}
AB=BC=CD=DE \\\\
2\angle{BAE} = \angle{CBA}\\\\
2\angle{ECA} = \angle{AEC} = \angle{BAE} + 30^{\circ}
\end{cases}
$$
このとき，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\angle{EDB}=\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg)^{\circ}$と表すことができるので，$a+b$ を答えてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

ある三角形の内心を中心とする半径 $2024$ の円が，その三角形の頂点のうちの一つと，その三角形の外心，垂心を通りました．この三角形の外接円の半径としてあり得る値の総和の整数部分を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

I finished () my homework.

解答形式

()に入る語句を英語で答えよ。

問題文

$AB=AC$なる鋭角二等辺三角形$ABC$において$AB$,$BC$の中点をそれぞれ$M$,$N$とし、$MC$の垂直二等分線と$AN$の交点を$P$とします。$\triangle ABC$の面積は$15$であり、$AP:PN=4:1$であるとき、$BC^4$を解答してください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし、$AH$ と $BC$ の交点を $D$、$BC$ の中点を $M$ とすると、$B,D,M,C$ がこの順に並びました。$AH$ を直径とする円と $AM$ の交点のうち $A$ でない方を $X$ とすると、$∠CXM=∠BAM$ でした。$BD=23,DM=42$ のとき、三角形 $ABC$ の面積を解答してください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題

$a=2+\sqrt3$とする.
このとき
$$a^{2025}+a^{2023}+...+a^3+a$$の$1$の位を求めよ.

解答形式

半角数字で解答してください

問題文

$\triangle ABC$において$AC$,$AB$の中点をそれぞれ$M$,$N$とし, 線分$BM$,$CN$上(端点を除く)にそれぞれ点$D$,$E$をとります. 直線$AD$,$AE$と線分$BC$の交点をそれぞれ$P$,$Q$としたとき,$$\frac{AP･PD}{PB}=MN-PC$$$$\frac{AQ･QE}{QC}=MN-QB$$が成立しました. $∠ADB=101°$,$∠BEN=62°$,$∠DCB=41°$のとき, $∠AED$の角度を度数法で解答してください.

解答形式

半角数字で入力してください.

問題文

正三角形 $ ABC$ の辺 $AB,BC,CA$ 上にそれぞれ点 $P,Q,R$ があり，
$$PQ=3,\ \ \ \ QR=5,\ \ \ \ RP=7,\ \ \ \ AB=9$$ を満たしています．このとき，線分 $AQ$ の長さは互いに素な整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$ と書けるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください．

問題文

次の関数の極大値を求めよ。
y=|x^2-7x+10|+x

解答形式

半角数字でお願いします。

問題文

$∠BAC=30°$、$BC =3$である$△ABC $について、$AB$の最大値を解答してください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

Aaaaaa アアアア漢、漢漢
漢あ漢あああああ漢あ
あああ漢漢あアアアアア

あーあぁ
漢ぁああ漢漢！（Aa！）漢Aaa♡ aa 漢漢！（Aa！）
あああーあああー？（あああああーあ）
アァ？( ﾟДﾟ) あああああああ、漢あああーあ（あ〜！）
漢漢!! アア漢アアアアア☆

漢漢あ　あ漢ああああ
漢ああああああ（ああ！）
漢漢あ　漢あ漢あ
漢漢あ　漢ああ？♡（あぁ）
あぁ　ああああああ
漢ああ漢ぁあ
漢漢ああ漢あ漢あああ
あああああ漢

（あああぁあ！あああぁあ！漢ぁあああああぁあ！）
ああ漢漢あ漢ああああああぁ？
（あああぁあ！あああぁあ！あああああァ〜！）
あぁ、あああああ。あ漢あ漢ああ〜＾＾

アアアア漢、漢漢（あぁあぁーあ！）
アアアア漢漢あ漢漢（あぁあぁーあ！）
ああああぁああああ　漢あ漢ああああああ
Aaaaaa アアアア漢、漢漢（あぁあぁーあ！）
漢あ漢あああああ漢あ（Aaa！）
あああ漢あああ　漢漢ああ漢あぁあ
漢漢あアア　あああああ

（あああぁあ・・・）
ああ。漢あ漢ああ、ああああ漢漢あ漢あ漢あああ
漢漢ぁああああああぁ！
あーああ、漢あaaaあああ。
（あああぁあ・・・ああ、あぁあ漢ああァ〜〜〜）

漢ぁああ漢漢！（Aa！）漢Aaa♡ aa 漢漢！（Aa！）
あああーあああー？（あああああーあ）
アァ？( ﾟДﾟ) あああああああ、漢あああーあ（あ〜！）
漢漢!! アア漢アアアアア☆

あぁーあ、漢漢ああああああぁァーあ
漢漢漢アァアアーアァアアああ漢漢あぁーあ
ああ、漢ああぁあ漢あアアアアあぁああぁあ
あぁーあ漢あああああああ

あぁーあ　　（漢ああ〜ァ）
アアアア　　（漢ああ〜ァ）
ああああ　　（漢ああ〜ァ）
漢ぁあああぁああああああ？
漢あああ　　（漢ああ〜ァ）
ああああ　　（漢ああ〜ァ）
あーあぁ　あーあぁ　あぁあああ〜！a

ああああああああ　あ漢あぁああ漢あぁあ
ああ漢漢あああ　アアあああーあ
漢漢漢漢　111漢
漢漢漢漢　あ・あ・あ・あ♡

漢漢☆ああアーーーーア（あぁぁあぁぁぁ〜〜〜）
あああぁあぁ！ああアーーーーア（あぁぁあぁぁぁ〜〜〜）
ああああぁ！ああアーーーーア（あぁぁあぁぁぁ〜〜〜）
ああアーーーーア（あぁぁあぁぁぁ〜〜〜）

漢ああ漢。漢ああアアアーアァアあ、漢あ漢あ漢あ漢ああ漢。
漢ああアアアアあ漢あ漢ああ漢漢ああ、漢漢あ漢。
あああ、ああアーアあああああ。

「あああ、漢ああ漢あああ・・・」

漢漢　ああ漢あ漢ああ
漢ああ漢あああああ
漢ぁ漢あアァアアアあ　漢ああ漢ああああ
Aaaaaa　漢あ漢ああ漢漢あ
あぁあ漢あ漢あ・・・
『漢漢ああ漢あああ』

あぁあああ漢漢あああああ
あ漢ああ漢あ漢ああああ漢漢ああ、漢あ漢漢ああああ？
あぁ、漢あああ。ああ、あああぁーああああああああ！

アアアア漢、漢漢（あぁあぁーあ！）
ああああ漢漢あアアアア（あぁあぁーあ！）
アアアアああああ　ああ漢あ漢あああああ
Aaaaaa アアアア漢、漢漢（あぁあぁーあ！）
漢あ漢あああああ漢あ（Aaa！）
あああ漢あああ　漢漢ああ漢あぁあ
漢漢あアア　あああああ
あああ漢漢あアアアアア

漢ぁああ漢漢！（Aa！）漢Aaa♡ aa 漢漢！（Aa！）
あああーあああー？（あああああーあ）
アァ？( ﾟДﾟ) あああああああ、漢あああーあ（あ〜！）
漢漢!! アア漢アアアアア☆

ああぁあーあ、ああああああ。

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