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問題文
大変だ！Golden Gokiburi が座標 $(0,0)$ に出たぞ！
Golden Gokiburi は 一回の移動で $(x,y)$ から $(x+1,y+1)(x,y+1)(x-1,y+1)(x+1,y)(x-1,y)(x,y-1)$ の6地点のうちいずれか一つに等確率で移動します。
$(3,7)$ にいるしましま君は不安で不安で仕方がありません。
$(0,0)$ にいる Golden Gokiburi が $900$ 回移動した後の $(3,7)$ と Golden Gokiburi との距離の $2$ 乗の期待値を求めてください。
解答形式
答えは非負整数になるので半角で解答してください。
問題文
$1$文字目と$3$文字目が等しく、$2$文字目と$4$文字目が等しい$4$文字の文字列をしましま文字列と呼ぶことにします。
例えば「しましま」や「bcbc」や「aaaa」はしましま文字列ですが、「もじれつ」や「ababa」や「abac」などはしましま文字列ではありません。
しましまは嘘の競技数学コンテストUSOMOを懲りずに毎年開いているので、ついにHONTOMOの元日本代表のアンチがついてしまいした(悲しい...)
しましま文字列を（連続しなくても良い）部分文字列として持たない文字列をアンチしましま文字列と呼ぶことにします。
例えば「ししまま」や「abcbba」や「abcdefgcc」はアンチしましま文字列ですが、「しましまし」や「abbcbba」や「acbadb」はアンチしましま文字列ではありません。
15文字のアンチしましま文字列であって全ての文字が a,b,c,d,e の5文字のうちのいずれかであるような文字列はいくつ存在しますか？
解答形式
非負整数を半角で入力してください
問題文
実数上の二項演算である「見せ算」を次のように定義します（今回は見せ算の中でも初等的な性質のみ扱います。）
$$
x \spadesuit y= \begin{cases} y & (x<y) \\ 0 & (x= y)\\ x & (x> y) \end{cases}
$$
この見せ算では結合法則が成り立たたず、計算順序により眼(答え)が変わる事があります。例えば、$((4 \spadesuit 4) \spadesuit 3)=3$ ですが、$(4 \spadesuit (4 \spadesuit 3))=0$ です。
数列 $(a_1,a_2,...,a_n)$ であって、$a_1\spadesuit a_2\spadesuit ....\spadesuit a_n$ をどんな順序で計算しても眼(答え)が変わらない数列を 全不変眼数列 と呼びます。
例えば、$(0,4,0,1)$ はどのような順序で計算しても眼が $4$ になるので 全不変眼数列 ですが、$(1,2,2,1)$ は $(((1 \spadesuit 2) \spadesuit 2) \spadesuit 1)=1$、 $(1 \spadesuit ((2 \spadesuit 2) \spadesuit 1))=0$ であるため 全不変眼数列 ではありません。
長さが $24$ で、$0,1,2,3$ を要素としてそれぞれ $6$ つずつ持つような 全不変眼数列 はいくつありますか？
解答形式
半角で解答してください
問題文
さるのも答えが9になる足し算の式を自分で一つ思いついたようです。さるのの考えた足し算の式を当ててください。
ただし、さるのの考えた足し算の式が解答した文字列の(連続していなくても良い)部分文字列にあれば正解とします。
例えば、「129+1341398+89006」と解答した場合、さるのの考えた足し算の式が「9」や「1+8」や「2+1+6」だった場合には正解ですが、「2+7」や「1+2+3+2+1」や「1+2+6」だった場合は不正解と判定されます。
例えば、答えが5になる足し算になる式として「3+2」「1+1+1+1+1」「5」などが挙げられます。
「1+2×2」や「0+1+4」や「0.5+4.5」や「-1+6」や「+3+2」や「⑨」などは足し算の式ではない事に注意してください。
足し算の式の厳密な定義 (これは全難易度で共通です)
足し算の式の各文字は1,2,3,4,5,6,7,8,9,+のいずれかで、先頭と末尾の文字は数字で、+どうしは連続しない。
その足し算の式を通常の数式として計算した結果がその足し算の式の答えになる。
解答形式
半角で1行で解答してください。「」は付けないでください。
例えば「129+1341398+89006」と解答したい場合は次のように解答してください。
129+1341398+89006
$$
恒等式\frac{3ax-b}{(x-1)(2x+1)}=\frac{{cos60゜}+{log_24^a}}{x-1}+\frac{{sin45゜}+{log_327^b}}{2x+1}\\について、a,bについて求めて下さい。
$$
$$
(1)\begin{cases}a=\frac{2}{5}\\b=-\frac{1}{4}\end{cases}
(2)\begin{cases}a=\frac{4}{6}\\b=-\frac{2}{5}\end{cases}
(3)\begin{cases}a=\frac{6}{7}\\b=-\frac{3}{7}\end{cases}
(4)\begin{cases}a=\frac{7}{8}\\b=-\frac{5}{9}\end{cases}
$$
問題文
$0$ 以上 $1$ 以下の実数の組 $(x_0 , x_1 ,\ldots, x_{100})$ と正の実数の組 $(y_0 , y_1 ,\ldots ,y_{100})$ が以下の条件を満たしました．
$$
x_ny_n=n(0\leq n\leq 100),\quad y_0=2,\quad y_{100}=260
$$
この時，以下の値の最小値を求めてください．
$$
\sum_{k=0}^{99} \left(\sqrt{y_k^2+y_{k+1}^2-2y_ky_{k+1}\Bigl( x_kx_{k+1}+\sqrt{(1-x_k^2)(1-x_{k+1}^2)}\Bigr)}\right)
$$
解答形式
求める値は $\sqrt{m}$ と表せるので， $m$ の値を半角数字で解答してください．
問題文
（ https://mathlog.info/articles/Lf8QaKPklfv156yuq309 問題13）
三角形$ABC$において外接円，内接円，角$A$内の傍接円の半径をそれぞれ$R,r,r_A$とすると
$$R=14,r=6,r_A=19$$
が成り立ちました．このとき$BC$の長さの二乗を求めてください．
解答形式
答えを入力してください．
問題文
以下の条件を全て満たす $20001$ 個の整数の組 $(a_0,a_1,…,a_{20000})$ を 階段状な組 と定義します．
- $a_0=a_{20000}=0$ ．
- $k=0,1,…,19999$ について $|a_{k+1}-a_k|=1$ ．
また，階段状な組 $A=(a_0,a_1,…,a_{20000})$ に対して スコア $S(A)$ を以下のように定めます．
- 以下の条件を全て満たす $1001$ 個の整数の組 $(x_0,x_1,…,x_{1000})$ の個数．
$\quad$ ・ $k=0,1,…1000$ について $x_k$ は $0$ 以上 $20000$ 以下の 偶数 ．
$\quad$ ・ $k=0,1,…999$ について $x_k\lt x_{k+1}$ ．
$\quad$ ・ $a_{x_{1000}}=0$ ．
階段状な組全てに対してスコア $S(A)$ の総和を求め，その値が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください．
解答形式
答えを入力してください．