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問題

A君、B君、C君、D君が先頭を走っています。A君は2位、B君は1位、C君は4位、D君は3位の順番です。途中で、A君がB君を抜き1位になりました。しかし、その後D君がA君を抜きました。A君は今何位でしょう。（数字は半角とします）

問題

1個120円のおにぎりと1個90円のパンを合わせて10個勝ったら、代金が1080円になった。おにぎりとパンそれぞれを何個買ったか求めなさい
また、過程文・途中式も書きなさい。（回答する際、数字は半角とする）

問題文

$1$つの整数が書かれた$15$枚のタイルが横$1$列に敷き詰められています。以下の条件を満たす数字の書き方は何通りあるか答えてください。

・タイルには$36$の正の約数のうちいずれかが書かれている。
・任意の隣り合う$2$枚のタイルに書かれた数の積は平方数でない。
・任意の隣り合う$3$枚のタイルに書かれた数の積は平方数である。

解答形式

半角数字で答えてください。

問題文

正方形 $ABCD$ の辺 $BC$ 上に点 $E$ をとると，
$$BE=7,\ \ \ \ CE=5$$が成り立ちます．$E$ を中心とした半径 $7$ の円を $O$ とし，正方形 $ABCD$ の内部かつ円 $O$ の周上の点 $F$ をとると直線 $DF$ は円 $O$ の接線となりました．このとき，線分 $CF$ の長さは正整数 $a,b$ と素数 $c$ を用いて $\displaystyle{\frac{a+\sqrt{b}}{c}}$ と書けるので $a+b+c$ の値を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください．

追記
答えひらがなな訳ありませんでした、失礼しました

問題文

凸四角形ABCDが∠ABD＝12°、∠DBC＝84°、∠ADB＝18°、BD＝BCを満たすとき、角ACDは何度ですか。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

勇者は座標平面上の原点 $(0,0)$ にいます． 勇者は点 $(6,6)$ まで $x$ 座標か $y$ 座標の少なくとも一方が整数である点のみを通って最短距離となるように移動します．

しかしながら，魔王の罠が直線 $\displaystyle{y=x+\frac{5}{2}}$ 上に張られていて，勇者は罠の張られている直線上を通るたびに $1$ ダメージずつ受けてしまいます．

勇者が最短距離で移動する道のりは ${}_{12}\mathrm{C}_6$ 通り考えられますが，それらすべてについて受けるダメージの平均値を求めてください．ただし，その平均値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ と書けるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

座標平面において $A(0,4000),B(-3000,0),C(3000,0)$ をとります．次の条件をすべて満たすような直線 $\ell$ として考えられるものは何通りありますか．

• $\ell$ と直線 $AB$ は点 $P$ で交わり， $P$ の $x$ 座標は $-3000$ より大きく $0$ より小さい．
• $\ell$ と直線 $AC$ は点 $Q$ で交わり， $Q$ の $x$ 座標は $3000$ より大きい．
• 線分 $BP$ の長さと線分 $CQ$ の長さは整数値である．
• $\ell$ と $x$ 軸の交点を $R$ とするとき，$\triangle RPB$ と $\triangle RQC$ の面積は等しい．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

三角形ABCとDEFにおいて
AB=DF,BC=DE,∠B=63°,∠C=30°,∠D＝171°
であるとき,∠Eの角度を求めてください。

解答形式

非負整数を半角で入力してください。

問題文

正の実数 $x,y,z$ が，
$$
(6x+15y+8z)xyz=5
$$
を満たす時， $(5x+5y+4z)^2$ の最小値を求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください

問題文

$$
x+ \frac{1}{x} =1
$$
のとき以下の値を求めよ
$$
\sum_{k=1}^{10^m}(x^{k}+\frac{1}{x^{k}}) \quad
$$
ただしmは自然数である。

回答形式

半角数字で答えてください。
また、複数個の値を取りうる場合は値の小さい順に改行して入力してください。

問題文

三角形 $ABC$ について，$\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$，円 $ABD$ と $AC$ の交点を $E$，円 $BEC$ と $AB$ の交点を $F$ とし，$AD$ と $FC$ の交点を $P$ とするとき，$AF=2, AC=3, PE=1$ が成立しました．$AB$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

半径が $4$ の円 $\Omega$ 上に2点 $A, B$ を直径をなさないようにとり，$A, B$ における $\Omega$ の接線の交点を $C$ とします．三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし，3点 $A, C, H$ を通る円と $\Omega$ の交点を $D$ とすれば，$AB=CD$ が成り立ちました．このとき，三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を求めてください．

追記：$D\neq A$ とします．

解答形式

半角数字で解答してください．