全問題一覧
問題文
三角形 $ABC$ の外心を $O$，垂心を $H$，外接円を $\Gamma$ とする．そして，以下のように点を4つとる．
- 直線 $BH$ と $\Gamma$ との交点を $P(\not=B)$ とする．
- 直線 $PO$ と $\Gamma$ との交点を $Q(\not=P)$ とする．
- 直線 $QH$ と $\Gamma$ との交点を $R(\not=Q)$ とする．
- 直線 $RO$ と $\Gamma$ との交点を $S(\not=R)$ とする．
このとき，3点 $ C,H,S$ が同一直線上にあった．
$$AH=17 , AO=11$$
のとき，三角形 $ABC$ の面積を求めてください．
解答形式
答えを2乗した値は，互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を求めてください．
問題文
$∠B=60°$を満たす鋭角三角形$ABC$について、その内接円が$AC,AB$にそれぞれ$D,E$で接している。$∠B$の二等分線と直線$DE$の交点を$F$とすると以下が成立した。
$$
AB=4 CF=3
$$
$F$を通り$AB$と平行な直線と$AC$の交点を$G$とするとき、$CG²$の値を求めてください。
解答形式
半角で解答してください。
問題文
三角形ABCとその辺AB上にある点Dと辺CA上にある点Eが次の二つの条件を満たしている．（ただし、点D,Eは点Aとは一致しない）
（Ⅰ）AB=13,BC=14,CA=15
（Ⅱ）4点B,C,E,Dは共円
このとき、「点Aを通りDEに垂直な直線」と、線分BCの交点をFとする．
BFの長さを求めよ．
解答形式
例）この答えは、互いに素な自然数$a$,$b$を用いて$\frac{a}{b}$と書けるので、$a$+$b$の値を答えてください．
問題文
$\angle B=90^{\circ}$なる直角三角形$ABC$において，$AC$の中点を$M$とすると，$BC$上(端点を除く)に$AB=MP=MQ$なる異なる$2$点$P$，$Q$をとることができ，$B$，$P$，$Q$，$C$はこの順にあった．また，直線$MQ$について$B$と対称な点を$X$とすると，$AX=11$，$PX=18$を満たした．このとき，$BC$の長さの$2$乗を求めよ．
解答形式
求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表せるので，$a+b$を半角数字で解答してください．
問題文
外接円の直径が$5$，$AB:AD=5:7$の内接四角形$ABCD$において，$\triangle ABC$の内心，$B$傍心をそれぞれ$I_1$，$I_B$とし，$\triangle ADC$の内心，$D$傍心をそれぞれ$I_2$，$I_D$とすると，$I_1$，$I_2$，$I_B$，$I_D$は同一円周上にあり，$I_1I_B\cdot I_2I_D=40$を満たした．$AC$の中点を$M$としたとき，$BM+DM$を求めよ．
解答形式
求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表されるので，$a+b$を半角数字で解答してください．