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問題文
三角形 $ABC$ において内接円と辺 $BC,CA,AB$ の接点をそれぞれ $D,E,F$ とします．直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点のうち $A$ でないものを $G$ とすると，
$$DG＝BF,\quad AD＝9,\quad AF＝4$$
が成立したので線分 $DE$ の長さの $2$ 乗を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
$AB=15，AC=20$ の鋭角三角形 $ABC$ があり，辺 $AC$ 上に $AB=AD$ となる点 $D$ をとります．線分 $BD$ の中点を $M$ とすると三角形 $ADM$ の外接円は直線 $CM$ に点 $M$ で接したので線分 $BC$ の長さの $2$ 乗を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
三角形 $ABC$ があり，線分 $BC$ 上に点 $P$ をとる．三角形 $ABP$$,$ 三角形 $ACP$ の内心をそれぞれ $I,J$ とすると，
$$IJ \parallel BC,\quad AB:AC=4:5,\quad BP=8,\quad CP=9$$
が成立したので三角形 $ABC$ の面積を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
$AB<AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり，外接円 $\Omega$ の中心を $O$， $\Omega$ の $A$ を含まない方の弧 $BC$ の中点を $M$ とします．$\Omega$ の点 $B,C$ それぞれにおける接線の交点を $D$ とし，線分 $AD$ と $\Omega$ の交点のうち $A$でない方を $P$ とし，点 $P$ を通り直線 $BC$ に垂直な直線と線分 $AM$ の交点を $Q$ とすると以下が成立しました．
$$AQ=8,\quad OQ=3,\quad \angle PMO=\angle QOM$$
このとき線分 $BM$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$と表されるので $a+b$ を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
$202\times5$ のマス目があり，それぞれのマスに上下左右のいずれかの矢印が書かれており，以下の $2$ つを満たしました．
-
任意のマスについて，そのマスに書かれている矢印の方向に動くということを繰り返すことで元のマスに戻ることができる．
-
互いに向かい合っているような矢印は存在しない．
-
$3$ 列目に書かれた $202$ 個の矢印の中に，左向きの矢印は存在しない．
条件を満たすように矢印を書き込む方法は $N$ 通りあります．$N$ を$2$ つの素数の積 $197\times199$ で割った余りを求めてください．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
三角形 $ABC$ において，$\angle{A}, \angle{B}, \angle{C}$ の角の二等分線と辺 $BC, CA, AB$ との交点を $D, E, F$ ，直線 $CF$ と $DE$ の交点を $X$ ，三角形 $ABC$ の外接円と直線 $AD, AX$ の交点を $M, N$ とすると，以下が成り立ちました．
$$
MN=NC， BD=4， DC=6
$$このとき，三角形 $ABC$ の面積を求めてください．ただし，答えは 正整数 $a, b, c$ ( $a$ と$b$ は互いに素，$c$ は平方因子を持たない)を用いて $\dfrac{b\sqrt{c}}{a}$ と表されるので $a+b+c$ の値を解答してください．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
$$\sum_{i=1}^{n} x_i^n = y^n$$
$x_i$がすべて互いに素でnが6以上のときこの式を満たす自然数は高々有限個しか存在しない。
解答形式
この命題をABC予想を真として、真か偽を証明しなさい。
