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半径1の円$\omega$に内接する凸六角形$A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}$について,線分$A_{1}A_{4},A_{2}A_{5},A_{3}A_{6}$はそれぞれ$\omega$の直径です.直線$A_{1}A_{2}$と直線$A_{3}A_{4}$の交点を$B_{1}$直線$A_{3}A_{4}$と直線$A_{5}A_{6}$の交点を$B_{2}$直線$A_{5}A_{6}$と直線$A_{1}A_{2}$の交点を$B_{3}$とすると以下が成立しました.
$$
\frac {A_{1}A_{2}}{A_{1}A_{5}}+\frac {A_{2}A_{3}}{A_{2}A_{6}}+\frac {A_{3}A_{4}}{A_{3}A_{1}}=3,三角形B_{1}A_{2}A_{3},B_{2}A_{4}A_{5},B_{3}A_{6}A_{1}の面積の和は\frac {24}{5}.
$$
このとき,六角形$A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}$の面積は互いに素な正の整数$a,b$を用いて$\frac ab$と表せるので$a+b$を回答してください.
問題文
正整数列 $A_{n}$ を以下のように定義する
$$
1個の2 以上の正整数を要素に持ち，それらの総積が n に等しい
$$ この時 $A_{2^{100}}$ としてありうる数列すべてについて，その要素の
総和を $97$ で割った余りを答えてください。
ただし，並び替えて一致するものも別々として数える。
例えば $A_{8}$ としてありうるものは $\lbrace8\rbrace,\lbrace2,4\rbrace, \lbrace4,2\rbrace, \lbrace2,2,2\rbrace$ でありその要素の総和は $8+2+4+4+2+2+2+2=26$ である。
解答形式
正整数で答えてください
問題
任意の自然数nにおいて、$A(n+1)=\frac{A(n)^2+A(n+2)^2}{A(n)+A(n+2)},A(n)>0$
が成り立つ数列{A(n)}をA(2),A(1)の値に
よって定める。
この数列はA(2)>A(1)>0を満たす
任意の(A(1),A(2))組に対して一意に定まる。
$$\lim_{n\to \infty}A(n)を求めよ。
$$(但し、数列{X(n)}において常にX(n)>X(n+1)>x
ならX(n)が収束することを用いて良い)
解答形式
収束するならその値を、
振動するときは'振動する'と、
無限大に発散する時は∞と答えよ。
問題文
$AB \lt AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$，とする．直線 $BH, CH$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点をそれぞれ $E (\not = B) , F (\not = C)$ とし，辺 $AB , AC$ と 線分 $EF$ との交点をそれぞれ $P , Q$ とする．直線 $AC$ に関して $P$ と対称な点を $R$，直線 $AB$ に関して $Q$ と対称な点を $S$ とし，三角形 $RSH$ の外心を $O$ とすると，以下が成立した．
$$ AH = 3 , BC = 4 , AO = 1$$
このとき，$AB$ の長さを求めてください．
解答形式
互いに素な正整数 $b , c$ および正整数 $a$ を用いて $\dfrac{\sqrt{a} - b}{c}$ と表されるので，$a + b + c$ を答えてください．