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問題文
平面上の四角形 $ABCD$ の辺の長さをそれぞれ，$AB=a, BC=b, CD=c, DA=d$ としたとき，
$$a^2+d^2=b^2+c^2+3$$
が成り立ちました. このとき，
$$3a+7b+11c+21d \geq \sqrt{M}$$
を常にみたす正整数 $M$ の最大値を解答してください.
11の100乗（11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕
11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕
11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕
11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕
11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11）の下６桁
を、パスカルの三角形を利用して求めなさい。ただし、1234567890の下６桁は567890です。
問題文
素数 $p,q$ が
$$4^p+2^p+1=p^2q$$を満たします. このようなすべての組 $(p,q)$ に対して, $p+q$ の総和を解答してください.
解答形式
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.
問題文
$$
F(t) = \int_{0}^{1} \frac{\left|\sin tx\cos tx \right|}{\left(1+\sin ^{2}tx \right)\left(1+\cos ^{2}tx \right)\left(1+\tan ^{2}tx \right)}dx
$$とする。極限値$\displaystyle \lim_{t\to\infty} e^{n\pi F(t)}$が整数になるような正整数$n$のうち最小のものを求めよ。また、そのときの極限値を求めよ。
解答形式
1行目に$n$の値を、２行目に極限値を半角英数字で解答してください。
問題文
$3$ つの自然数を積が $1000000$ となるように選ぶ方法は何通りありますか.
解答形式
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.
追記：
回答いただいた内容的に, $3$ つの自然数を区別するかどうかがわかりにくかったと思われるので追記します.
この問題では $3$ つの自然数は区別しません. すなわち, $(1,10,100000)$ と $(10,1,100000)$ のように
並び替えただけの組は同一のものとみなします.
$$
log_3\frac{27^n}{{9}^{n^2}}における,n,最大値を求めて下さい。
$$
$$
(1)\begin{cases}最大値\frac{1}{3}\\(n=\frac{1}{3})\end{cases}
(2)\begin{cases}最大値\frac{2}{3}\\(n=\frac{5}{6})\end{cases}
(3)\begin{cases}最大値\frac{5}{6}\\(n=\frac{2}{5})\end{cases}
(4)\begin{cases}最大値\frac{9}{8}\\(n=\frac{3}{4})\end{cases}
$$
問題文
四角形$ABCD$があります.線分$AC$上に点$P$を,線分$BP$上に点$Q$を,線分$DP$上に点$R$を取ります.直線$AQ$と線分$BC$,直線$CQ$と線分$AB$,直線$AR$と線分$CD$,直線$CR$と線分$AD$の交点をそれぞれ$S,T,U,V$とします.
$$\triangle BSA=(四角形BSPT)+8=\triangle BCT+12
\\\\\triangle AUD =30,\triangle CDV=25$$
が成り立つとき四角形$DVPU$の面積を求めてください.
解答形式
求める値は互いに素な自然数$p,q$を使って$\cfrac{q}{p}$と表されるので$p+q$の値を答えてください.