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数列 ${a_n}$ を、初項 $a_1 = 2$、漸化式
$
a_{n+1} = a_n^2 - a_n + 1 \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)
$
によって定める。このとき、以下の問いに答えよ。

(1)$p$ を $5$ 以上の素数とし、$k$ を整数とする。
合同式
$
x^2 + x + 1 \equiv 0 \pmod p
$
が整数解 $x = k$ を持つとき、$p \equiv 1 \pmod 3$ となることを証明せよ。

(2)任意の自然数 $n$ に対して、$a_n$ を割り切る素因数 $q$ は、$q = 2$、$q = 3$、または $q \equiv 1 \pmod 6$ のいずれかであることを示せ。
さらに、これを用いて「$p \equiv 1 \pmod 6$ を満たす素数 $p$ は無限に存在する」ことを証明せよ。

問題文

f(n)を、nを2,3,4…n-1進数で表したとき末尾に0が並ぶ個数の和であるとする。
（1）f(4000)を求めよ。
（2）nは2種類の素因数を持ち、指数が等しい。このとき、f(n)が奇数になる条件を述べよ。

解答形式

記述。

${}$　西暦2026年問題第10弾です。今年の最終回を迎えました。最終回はどこから手を付けていいのか迷ういそうな問題を用意しています。とはいえ、タネに気づけばサクッと解けるように仕込んであります。じっくりと腰を据えてお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は求める$x$の値を小さい順に2行に分けて半角で入力してください。「$x=$」の記載は不要です。
（例）$x=$110, 2026 → 《1行目》$\color{blue}{110}$、《2行目》$\color{blue}{2026}$

${}$　西暦2026年問題第8弾です。$2026$を$2^{26}$とする強引な西暦問題となりました。ついでに書くと、どこかに類題がありそうで、その点でも恐れています。皆さんはそんな僕の恐れなど気にせずにお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は1行目に$p_3$の値を、2行目に$p_4$の値を、それぞれ半角で入力してください。「$p_3=$」「$p_4=$」といった記載は不要です。
（例）$p_3=$108、$p_4=$2026 → 《1行目》$\color{blue}{108}$、《2行目》$\color{blue}{2026}$

${}$　西暦2026年問題第7弾です。見た目も実際もがっつり整数問題です。ひととき整数と戯れてみてください。
　なお、$2026$より大きい整数の素数判定が待ち受けています。適宜、素数表（たとえば https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_prime_numbers ）を利用するなり、Wolfram|Alpha（ https://www.wolframalpha.com ）を利用するなりしてください。

解答形式

${}$　解答は求める値をそのまま半角で入力してください。
（例）107 → $\color{blue}{107}$
　求められているのは平方数と素数に挟まれた数であることに注意してください。

${}$　西暦2026年問題第6弾です。問題文こそ集合の言葉を使っていますが、そちらは本質ではありません。整数問題としてお楽しみください。

解答形式

${}$　解答は求める最小値をそのまま半角で入力してください。
（例）最小値が106 → $\color{blue}{106}$

問題文

$30! \pmod{31\times30\times 29^2}$ の値を求めてください．

解答形式

半角の整数で入力してください．

${}$　西暦2026年問題第5弾です。僕の西暦問題では珍しく多項式がテーマです。数の大きさに怯むかもしれませんが、上手く処理すれば単純な計算で求まります。ぜひ挑戦してください。

解答形式

${}$　解答は$x$の値をそのまま半角で入力してください。「$x=$」の記載は不要です。
（例）$x=$105 → $\color{blue}{105}$

${}$　西暦2026年問題第4弾です。見た目こそ覆面算風味の整数問題ですが、はたして……？ 桁数の多い計算が待っていますので、適宜電卓をお使いください。

解答形式

${}$　解答は1行目に$x$の値を、2行目に$d$の値を、それぞれ半角で入力してください。「$x=$」「$d=$」といった記載は不要です。
（例）$x=$104、$d=$4 → 《1行目》$\color{blue}{104}$、《2行目》$\color{blue}{4}$

問題文

$N=p^q-pq$とします。$N-1$が平方数、$p,q,\frac{N}{2},N+1,N+3$がいずれも素数になるような$N$としてありうる最小の値を求めてください。

解答形式

半角整数で答えてください。

問題文

x,y,zを自然数とする。
xy+xz = x+y+z となるような(x,y,z)の組はいくつあるか。

解答形式

数字のみを記入すること。例：3組ある場合は 3

問題文

$p$ を $p \ge 5$ なる素数とする。集合 $G_p = {1, 2, \dots, p-1}$ の部分集合 $S$ が自己双対的であるとは、
$$a \in S \implies a^{-1} \pmod p \in S \quad \text{かつ} \quad a \in S \implies p-a \in S$$
が全ての $a \in S$ に対して成り立つことと定義する（ここで $a^{-1}$ は $\pmod p$ における $a$ の乗法逆元）。

$N_p$ を、$G_p$ の自己双対的な部分集合 $S$ の総数とする（空集合 $\emptyset$ も含む）。

$N_p = 32$ となるような素数 $p$ ($p \ge 5$) をすべて求めよ。

解答形式

解を半角1スペースおきに小さい順に並べてください