数学の問題一覧

問題文

この問題は、Prime Prime Prime (Easy)と一部分一致しているため、相違点を赤色で強調しています。

また、必要とされる素数表の大きさがOMCに乗っているものよりも大きいため、この問題に限り、外部の素数表の閲覧を許可します。

$n$ 桁の素数であって，すべての $i,j$ $ (1 \le i $ ＜  $ j \le n)$ において， $i$ 桁目から $j$ 桁目までが素数である数のうち，最大のものを答えてください．
例えば， $23$ は $23(i=1,j=2)$ が全て素数なので条件を満たします．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$\quad$三角形 $ABC$ において，内心を $I$ ，角 $A$ 内の傍心を $I_A$ ，外心を $O$ とすると，直線 $II_A$ と直線 $IO$ は垂直に交わった．線分 $BC$ の中点を $M$ ，線分 $II_A$ と線分 $BC$ の交点を $K$ とし，三角形 $MKI_A$ の重心を $G$ とすると， $$KM=1，KG=3$$が成立した．このとき，線分 $BC$ の長さを求めよ．

解答形式

求める値の二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので， $a+b$ を半角数字で解答してください．

問題文

$\quad$鋭角三角形 $ABC$ において， $B$ を通り直線 $AC$ に平行な直線上に点 $P$ を， $C$ を通り直線 $AB$ に平行な直線上に点 $Q$ をそれぞれとると， $A,P,Q$ はすべて直線 $BC$ に関して同じ方にあり， $\angle APB=\angle AQC$ が成立した．また，三角形 $PAB$ の外接円と三角形 $QAC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とし，直線 $PQ$ と直線 $BX,CX$ の交点をそれぞれ $R,S$ とすると，
$$\cos\angle BXC=\frac 15，CX-BX=5，XR:XS=5:3$$が成立した．さらに，線分 $BC$ の中点を $M$ ，直線 $AX$ と三角形 $PXQ$ の外接円が再び交わる点を $T$ とし，三角形 $TPQ$ の内心を $I$ とすると，直線 $AX$ と直線 $MI$ は平行であった．このとき，線分 $XI$ の長さを求めよ．

解答形式

求める値の二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので， $a+b$ を半角数字で解答してください．

問題文

$\quad$ $BC=8$ なる三角形 $ABC$ において，内接円の半径は $2$ ，角 $A$ 内の傍接円の半径は $5$ であった．このとき，三角形 $ABC$ の面積を求めよ．

解答形式

求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので， $a+b$ を半角数字で解答してください．

問題文

$1$ 以上 $8$ 以下の数が $8$ 個あります．$8\times 8$ の白いマス目に，$8$ 個の数を棒グラフとして黒で書き込むことにしました．このとき，このマスから $2\times 2$ の正方形を切り取りとる方法のうち，黒マスがちょうど $2$ マスである方法の数を最初の $8$ 個の数のスコアと呼ぶことにします．$8$ 個の数の選び方 $8^{8}$ 通り全てに対してのスコアの総和を答えてください．

解答形式

末尾に「（通り）」などをつけず，非負整数で答えてください．

問題タイトル：タイトル：二重境界・反転素数・桁和整合・合同一致

3桁の正の整数 n が次の条件を満たす：

1. n + 1 は完全平方数である。
2. n − 1 は完全立方数である。
3. n の十進表記を反転して得られる整数 r は素数である。
4. n と r の各桁の和は等しい。
5. |n − r| は 27 の倍数である。

このような n を求めなさい。
（解答は整数を1つ、例：123）

問題文タイトル：平方境界・反転素数・合同整合

3桁の正の整数 n が次の条件を満たす：

1. n + 1 は完全平方数である。
2. n の十進表記を反転して得られる整数 r は素数である。
3. |n − r| は 18 の倍数である。
4. n は 13 の倍数である。

このような n を求めなさい。
（解答は整数を1つ、例：123）

問題文を入力してください

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文タイトル：平方境界・反転・桁和整合

3桁の正の整数 n が次の条件を満たす：

1. n + 1 は完全平方数である。
2. n の十進表記を反転して得られる整数 r は素数である。
3. n の各桁の和は r の各桁の和と等しい。
4. n は 11 の倍数である。

このような n を求めなさい。
（解答は整数を1つ、例：123）

問題文を入力してください

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問タイトル：立方境界・反転・整合の三位一体

3桁の正の整数 n が次の条件を満たす：

1. n + 1 は完全立方数である。
2. n の十進表記を反転して得られる整数 r は素数である。
3. |n − r| / 9 は素数である。
4. n は 7 の倍数である。

このような n を求めなさい。
（解答は整数を1つ、例：123）
題文
問題文を入力してください

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

問題文を入タイトル：立方数の一歩手前と素数反転（競技）

3桁の正の整数 $n$ が次の条件を満たす：

1. $n+1$ は完全立方数である。
2. $n$ は 7 の倍数である。
3. $n$ の十進表記を逆から読んで得られる整数（反転数）が素数である。

このような $n$ を求めなさい。
（解答は整数を1つ、例：123）
力してください

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

$i=1, 2, \ldots, 999$ に対して，数 $i$ が書かれたカードがそれぞれ $1001$ 枚あり，同じ数が書かれたカードは区別しないものとします．これらを左右 $1$ 列に並べる方法であって，次の条件を満たすカード $X$ がちょうど $1$ 枚あるようなものが $N$ 通りあるものとします．

• カード $X$ は一番右のカードではない

• カード $X$ に書かれた数は，カード $X$ の右隣のカードに書かれた数より大きい

$N$ を $997$ で割った余りを求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$56076923$ の素因数の総和を求めてください.
ただし, 重複する素因数は異なるものとして考えます.

解答形式

例）非負整数を答えてください.