数学の問題一覧

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A

Furina 自動ジャッジ 難易度:
17日前

27

問題文

垂心を $H$ とする鋭角三角形 $ABC$ において,直線 $AH$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると,
$$BH=2,CH=7,DH=1$$
が成り立ちました.このとき,三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を求めてください.

解答形式

半角数字で入力してください。

没っぽい幾何

katsuo_temple 自動ジャッジ 難易度:
17日前

3

問題文

鋭角三角形$ABC$について、$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とする。$△ABC$の外接円と直線$EF$の交点の内、劣弧$AB$側の交点を$G$、劣弧$AC$側の交点を$H$とする。直線$BG$と直線$DF$の交点を$I$としたとき、$A.I,H$は共線であった。このとき、以下が成立した。
$$
∠C=60° BC=8
$$
このとき、$AC$の長さは自然数$a.b$を用いて$a+√b$と表せられるので、$a+b$の値を求めて下さい。

解答形式

半角で解答して下さい。

角の3等分線と円

Calculator 自動ジャッジ 難易度:
18日前

2

問題文

内接五角形$ABCDE$があり、$∠BAC$=$∠CAD$=$∠DAE$である。
また、$AB=12$、$AC=17$、$AD=20$である。
このとき、$AE$の長さは互いに素な正の整数$p,q$を用いて$\frac{p}{q}$と表せるので$p+q$を解答してください。

解答形式

半角で解答してください。

OMCBにありそう

sha256 自動ジャッジ 難易度:
19日前

16

問題文

初項が$1(a_1=1)$の数列{$a_n$}は、任意の正整数$n$に対し
$$
a_{n+1}^3-10a_na_{n+1}^2+31a_n^2a_{n+1}-30a_n^3=0
$$
を満たしている。
$a_{60}$としてあり得る値すべての総積を求めたい。
ただし答えは非常に大きいので、答えの正の約数の個数を1000で割ったあまりを答えよ。

解答形式

$0$以上$999$以下の整数を半角英数字で入力してください。

(11/7:一部問題文を修正)

幾何

katsuo_temple 自動ジャッジ 難易度:
21日前

3

問題文

$∠B=60°$を満たす鋭角三角形$ABC$について、その内接円が$AC,AB$にそれぞれ$D,E$で接している。$∠B$の二等分線と直線$DE$の交点を$F$とすると以下が成立した。
$$
AB=4 CF=3
$$
$F$を通り$AB$と平行な直線と$AC$の交点を$G$とするとき、$CG²$の値を求めてください。

解答形式

半角で解答してください。

2のべき乗と三角形

kusu394 自動ジャッジ 難易度:
24日前

4

問題文

$a + b + c = 999$ かつ $a \le b \le c$ を満たす正整数の組 $(a, b, c)$ であって,
$2^a, 2^b, 2^c$ が非退化な三角形の三辺の長さとなるものは何通りありますか.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

最小公倍数

kiriK 自動ジャッジ 難易度:
24日前

2

問題文

$$LCM(ax,x^2+3x+2)=LCM(ax,b×x!)$$が成り立つ時、$a+2b+3x$ の値として考えられるものの総和を答えよ。
ただし$x$は自然数、$a,b$は素数とする。

解答形式

半角数字

P4

Lamenta 自動ジャッジ 難易度:
26日前

22

問題文

$\triangle ABC$において,内心を$I$,重心を$G$とし,$I$ から$BC$,$CA$,$AB$に下ろした垂線の足をそれぞれ$D$,$E$,$F$とすると,$G$は$EF$上にあり,$IG=1$,$BD:DC=3:5$を満たした.このとき,$\triangle ABC$の周長の$2$乗を求めよ.

解答形式

求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので,$a+b$を半角数字で解答してください.

P5

Lamenta 自動ジャッジ 難易度:
26日前

9

問題文

外接円の直径が$5$,$AB:AD=5:7$の内接四角形$ABCD$において,$\triangle ABC$の内心,$B$傍心をそれぞれ$I_1$,$I_B$とし,$\triangle ADC$の内心,$D$傍心をそれぞれ$I_2$,$I_D$とすると,$I_1$,$I_2$,$I_B$,$I_D$は同一円周上にあり,$I_1I_B\cdot I_2I_D=40$を満たした.$AC$の中点を$M$としたとき,$BM+DM$を求めよ.

解答形式

求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので,$a+b$を半角数字で解答してください.

P1

Lamenta 自動ジャッジ 難易度:
26日前

26

問題文

鋭角三角形$ABC$において,外心を$O$とし,$\angle OAB$の二等分線と$BC$の交点を$D$とすると,$BD=OD$,$\angle AOD >90^\circ$を満たした.$AO=7$,$AD=10$であるとき,$BC$の長さを求めよ.

解答形式

求める値は正整数$a,b$を用いて$a+\sqrt b$と表せるので,$a+b$を半角数字で解答してください.

P3

Lamenta 自動ジャッジ 難易度:
26日前

18

問題文

$\angle B=90^{\circ}$なる直角三角形$ABC$において,$AC$の中点を$M$とすると,$BC$上(端点を除く)に$AB=MP=MQ$なる異なる$2$点$P$,$Q$をとることができ,$B$,$P$,$Q$,$C$はこの順にあった.また,$B$を直線$MQ$について対称移動した点を$X$とすると,$AX=11$,$PX=18$を満たした.このとき,$BC$の長さの$2$乗を求めよ.

解答形式

求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せるので,$a+b$を半角数字で解答してください.

OMC不採用問題(700C)

MARTH 自動ジャッジ 難易度:
27日前

6

$4$ 行 $6$ 列のマス目の各マスに $1$ 以上 $12$ 以下の整数を書き込みます. 上から $i$ 行目, 左から $j$ 列目にあるマスに書かれた数を $a_{i,j}$ で表すとき, 以下を満たす書き込み方は何通りありますか?

  • $j=1,2,3,4,5$ について以下の値が正の奇数となる.
    $$
    \min_{1\leq i\leq 4}(a_{i,j+1}-a_{i,j})
    $$