C. Dividing Meat

問題

佐藤君は、$N$通りの料理の中から、$M$個を注文します。ただし、同じ料理は$X$個まで注文できます。このとき、佐藤君の注文の組み合わせは何通りありますか。
4つのテストケースが与えられるので、それぞれについて求めてください。

テストケース（上から順に求めてください）

$N=10,M=2,X=2$
$N=30,M=3,X=1$
$N=15,M=3,X=2$
$N=100,M=5,X=2$

答え方

上から順に4行で、単位無しで整数で答えてください。

問題

佐藤君は、$N$人に焼肉を奢ります。1人あたりの料金は税抜で$X$円であり、税率は$Y$%です。このとき、佐藤君が支払う金額を求めてください。
5つのテストケースが与えられるので、それぞれについて求めてください。

テストケース（上から順に求めてください）

N=3,X=1000,Y=10
N=5,X=3200,Y=5
N=30,X=3000,Y=100
N=2500,X=60000,Y=8
N=2,X=10000,Y=0

答え方

上から順に5行で、単位無しで整数で答えてください。

問題文

自然数nに対しn自身を除く最大の約数をf(n)とします。f(n)+f(n+1)+f(n+2)=nを満たす最大のnを求てください

解答形式

例）数値を入力して下さい

問題文

正の整数 $x$ に対し$,$ $x^x$ の正のすべての約数の積を $f(x)$ とするとき$,$ $$f(x) = x^{1950}$$を満たすような正の整数 $x$ をすべて求めてください。

解答形式

条件を満たすような正の整数 $x$ の 総和 を入力してください。

問題文

正の整数 ${n}$ に対して定義される数列 ${a_n}$ が
$${a_1=2, a_2=-4, a_{n+2}-2a_{n+1}+4a_n=0}$$
を満たしている。
${|a_{2025}|}$ の正の約数の個数を求めよ。

解答形式

整数で入力してください

問題文

$a,n$ を正の整数とする．
$$\int ax^ne^xdx$$
の $e^x$ の係数が $2026!$ であるような $(a,n)$ の組は何個ありますか？

解答形式

整数で解答してください

問題文

p,q,rを素数とする。
p,q,rが$322p^6+15q^5+1483=4r^6$を満たすとき、
(p,q,r)の組を全て答えよ

解答形式

条件を満たす全ての(p,q,r)に対して、$10^4p+10^2q+r$の総和を解答する

問題文

正の整数の組 $(a, b)$ であって$,$ $a < b \leqq 2026$ かつ$$\mathrm{lcm}(a, b) - \gcd(a, b) = \frac{a + b}{2}$$を満たすものはいくつありますか。

解答形式

半角で数字のみ入力してください。

問題文

$m$ を整数とする．$x$ の $100$ 次方程式
$$\sum_{i=0}^{100}3^ix^{100-i}=m+\sum_{j=0}^{99}(2j+1)x^{99-j}$$ は重複を含めて $100$ 個の複素数解を持つので，その $n$ 乗和を $S_{m,n}$ とする．
$n$ が正の整数のとき $S_{m,n}$ は整数になるので，$S_{m,n}$ を $5$ で割った余りを $T_{m,n}$ をとする．以下の値を求めよ．
$$\sum_{m=0}^{1000}\sum_{n=1}^{100}T_{m,n}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

以下の $x$ に関する $100$ 次方程式の（重解を含む）$100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします．
$$x^{100}+x^{99}+2025x+12=0$$

このとき，以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{100} ({\alpha_k}^{100}+{\alpha_k}^{99})$$

解答形式

整数で解答してください．

補足

https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの14番の問題と同じです．

$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\log_{e^{n}}\,{}_{2n}\mathrm{C}_{n}$$を求めてください。

解答形式

半角で数字のみ入力してください。
・答えが分数になる場合は分母と分子の和を答えてください。
(例: $\dfrac{1}{2}$ → $3$を入力する )
・答えに$\pi$を含む場合は$\pi=3$として答えてください。
(例: $2\pi$ → $6$を入力する，$\dfrac{\pi}{2}$ → $5$を入力する )
・答えに$\log$を含む場合は$a\log b$となる場合も$\log b^a$として真数のみ答えてください。
(例: $2\log 2$ → $4$を入力する )
・上記の例に当てはまらない場合は$0$と入力してください。($0$に収束する場合も$0$と入力します)

問題文

$\omega$ を $1$ の $3$ 乗根のうち $1$ でないものの一方とします．
$$S={\sum_{k=1}^{2026} \frac{1}{k^2+(2\omega+1)k-1}}$$
としたとき，$\left|\frac{S-1}{S}\right|$ を求めてください．

解答形式

求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ を解答してください．