300〜400 代数・多項式

問題文

正の整数 ${n}$ に対して定義される数列 ${a_n}$ が
$${a_1=2, a_2=-4, a_{n+2}-2a_{n+1}+4a_n=0}$$
を満たしている。
${|a_{2025}|}$ の正の約数の個数を求めよ。

解答形式

整数で入力してください

問題文

以下の $x$ に関する $100$ 次方程式の（重解を含む）$100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします．
$$x^{100}+x^{99}+2025x+12=0$$

このとき，以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{100} {\alpha_k}^{100}$$

解答形式

整数で解答してください．

補足

https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの14番の問題の改題です．

問題文

以下の $x$ に関する $3$ 次方程式は相異なる $3$ 個の複素数解をもつので，それぞれの解を $\alpha,\beta,\gamma$ とします．
$$x^3-2^{2025}x^2+24x-2^{2023}=0$$

このとき，以下の値は整数になるので，その正の約数の個数を求めてください．
$$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)$$

解答形式

整数で解答してください．

補足

https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの31番の問題と同じです．

問題

佐藤君は、$N$通りの料理の中から、$M$個を注文します。ただし、同じ料理は$X$個まで注文できます。このとき、佐藤君の注文の組み合わせは何通りありますか。
4つのテストケースが与えられるので、それぞれについて求めてください。

テストケース（上から順に求めてください）

$N=10,M=2,X=2$
$N=30,M=3,X=1$
$N=15,M=3,X=2$
$N=100,M=5,X=2$

答え方

上から順に4行で、単位無しで整数で答えてください。

問題文

$1$ から $9$ までの異なる $9$ つの数字を$,$ $A$ から $I$ までの $9$ つのアルファベットに $1$ つずつ割り当てます。以下の $2$ つのかけ算の等式が同時に成り立つような数字の割り当て方を全て求めてください。
$※$ $A$, $G$ は $1$ 桁の数$,$ $BC, HI$ は $2$ 桁の数$,$ $DEF$ は $3$ 桁の数を表します。また$,$ $A < G$ とします。

$$A \times BC = DEF$$$$G \times HI = DEF$$

解答形式

$DEF$ としてありえるものの総和を半角で数字のみ入力してください。

問題文

非負整数からなる組$(a,b)$であって
$\dfrac{a^2+b}{b^2-a}$　および　$\dfrac{b^2+a}{a^2-b}$
がともに整数となるものの個数を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

n2^n+1が平方数となるような自然数nの総和を求めよ

解答形式

例）8と9→17
7のみ→7

文字l,m,oによる3n文字の文字列を考えます。
この文字列に対して、次の操作をちょうど n 回行います。

・残っている文字列に対し、**i

問題文

二等辺三角形ABCがあり、AB＝AC＝xcmである。また、頂角は150°である。下の式が二等辺三角形ABCの面積の値と等しくなった時、xの数値を求めなさい。(・は掛け算の×を表しています)

$$
\frac{x^4-10x^2+9}{(x+1)(x+3)(x-3)} + \sqrt{25+4\sqrt{6}} \cdot \sqrt{25-4\sqrt{6}} + \frac{(x+2)^3-(x-2)^3}{12x} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{1}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} + 19
$$

解答形式

x＝は必要ありません。数値のみを記入してください
(例) 810

問題文

単位円を外接円とする $\triangle ABC$ について，3辺の平方和 $s = a^2 + b^2 + c^2$ が最大となる条件を示し，その最大値を求めよ。

解答形式

3辺の平方和の最大値を入力してください。

問題文

単位円状の3点P,Q,Rは重心が(1/3,0)となるように動く。三角形PQRの面積の最大値を求めよ

解答形式

例）ひらがなで入力してください。
答えのみ　数値をそのまま記入してください

問題

佐藤君は、注文された$X\text{g}$の肉を$N$人で分け合います。$i\ {1\leq i \leq N}$番目の人が求めている肉の量は$W_i \ \text{g}$です。その人が$W_i \ \text{g}$以上貰った場合、その人の満足度は$100$となり、それより少ない場合、貰えた肉の量を$P_i \ \text{g}$としたとき、その人の満足度は$100\times \frac{P_i}{W_i}$ を切り捨てて整数にした値となります。
また、肉を貰えない人が居ても良く、肉が余っても構いません。
$N$人の満足度の合計が最大となるとき、その値を求めてください。
6個のテストケースが与えられるので、それぞれについて求めてください。

テストケース（上から順に求めてください）

$X=600,N=5,W=[100,120,140,160,160]$
$X=2600,N=8,W=[250,300,300,300,250,300,250,250]$
$X=999,N=7,W=[143,143,143,143,144,144,143]$
$X=100000,N=20,W=[10000,10000,5000,5000,10000,10000,12000,12000,11000,11000,9000,8000,6000,8000,13000,11000,7000,4000,2000,10]$
$X=60,N=2,W=[2000,1000]$
$X=10000,N=8,W=[1,1,1,1,1,1,1,1]$

答え方

上から順に6行で、単位無しで整数で答えてください。