300〜400 代数・多項式

問題文

二等辺三角形ABCがあり、AB＝AC＝xcmである。また、頂角は150°である。下の式が二等辺三角形ABCの面積の値と等しくなった時、xの数値を求めなさい。(・は掛け算の×を表しています)

$$
\frac{x^4-10x^2+9}{(x+1)(x+3)(x-3)} + \sqrt{25+4\sqrt{6}} \cdot \sqrt{25-4\sqrt{6}} + \frac{(x+2)^3-(x-2)^3}{12x} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{1}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} + 19
$$

解答形式

x＝は必要ありません。数値のみを記入してください
(例) 810

文字l,m,oによる3n文字の文字列を考えます。
この文字列に対して、次の操作をちょうど n 回行います。

・残っている文字列に対し、i<j<k を満たす正整数 i,j,k であって、
左から i 文字目が m、j 文字目が o、k 文字目が l であるものを 1 組選び、
その 3 文字を削除する。

最終的に文字列を空にすることができるような文字列の個数を​$a_{n}$とします。

例えば、molmol,momlol,momollなどは$a_{2}$の一部として数えられますが、
lmolom,mollom,mmloolなどはmol部分文字列を途中で取り出せなくなるため、$a_{2}$に含まれません。

$a_{n}≧6.02×10^{23}$となる最小のnを求めてください。

※ 数値計算に電卓を用いて構いません。

解答形式

半角で正整数を入力(空白なし)

問題文

$1$ から $9$ までの異なる $9$ つの数字を$,$ $A$ から $I$ までの $9$ つのアルファベットに $1$ つずつ割り当てます。以下の $2$ つのかけ算の等式が同時に成り立つような数字の割り当て方を全て求めてください。
$※$ $A$, $G$ は $1$ 桁の数$,$ $BC, HI$ は $2$ 桁の数$,$ $DEF$ は $3$ 桁の数を表します。また$,$ $A < G$ とします。

$$A \times BC = DEF$$$$G \times HI = DEF$$

解答形式

$DEF$ としてありえるものの総和を半角で数字のみ入力してください。

問題文

単位円を外接円とする $\triangle ABC$ について，3辺の平方和 $s = a^2 + b^2 + c^2$ が最大となる条件を示し，その最大値を求めよ。

解答形式

3辺の平方和の最大値を入力してください。

問題文

非負整数からなる組$(a,b)$であって
$\dfrac{a^2+b}{b^2-a}$　および　$\dfrac{b^2+a}{a^2-b}$
がともに整数となるものの個数を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

正十二角形ABCDEFGHIJKL があります。
袋の中に A〜L までの文字が書かれた12枚のカードが入っています。この袋からカードを1枚引いては戻す作業を 5回 繰り返します。
引いたカードに記された頂点同士を、円周上の順番に従って結び、多角形を作ります。ただし、以下のルールに従うものとします。
同じ頂点を複数回引いた場合は、1つの頂点としてカウントする。
選ばれた頂点の種類が2種類以下の場合は、多角形ができないものとして面積を0とする。
結んだ線分が多角形の内部で交差しないよう、頂点を結ぶ。
このとき、形成された多角形の面積が、もとの正十二角形の面積のちょうど 1/3 になる確率を求めなさい。

解答形式

解答はx/yと表せられるのでx+yの値を答えなさい

問題文

$\left( \tan^3 20^\circ - \tan^3 40^\circ + \tan^3 80^\circ \right)^2 $ の値を求めよ。

解答形式

半角数字で解答してください.

問題文

問1
l,m,n を自然数とする。
(1) lmn = 1119744 を満たす(l, m, n) の組み合わせの総数を求めよ。
(2) (1) のうち、l が 32 の倍数である(l, m, n) の組み合わせの総数を求めよ。

解答形式

(1)の解答と(2)の解答を連続して入力してください。例えば(1)の答えが500、(2)の答えが76の場合は50076と答えてください。

問題文

次の方程式を解いて、$x$の値をすべて求めてください。
$$x^5+2x^4+3x^3+3x^2+2x+1=0$$

解答形式

$a,b,c,d,e$のように解答してください。($π$はpiで$i$(虚数単位)はiで分数は$\frac{1}{2}$の場合は1/2のように解答してください。)

問題文

n を正の整数とし、$p$ を素数とする。$n!$ の素因数分解における $p$ の指数を $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$ とする。

量 $Q_n$ を次のように定義する。
$$ Q_n = \sum_{p \le n} \left( \frac{n}{p-1} - E_p(n!) \right) \log p $$
ただし、和は $n$ 以下の全ての素数 $p$ を走り、$\log$ は自然対数とする。

次の極限値を求めよ。
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{Q_n}{n} $$

ただし、オイラー・マスケロー二定数を $γ$ とする。

解答形式

半角で

問題文

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{100}=100$を満たす100個の非負整数の組$a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{100}$の全てについて、
$$\frac{1}{a_{1}!a_{2}!a_{3}!...a_{100}!}$$の総和を求めてください。

解答形式

答えが異なる自然数a,bを用いてa^b/b!という形で表されるため、a+bを回答してください。

問題文

数列$\ a_{n}$は以下のように定義されます.
$$a_{1}=1,a_{n+1}=2a_{n}+2\cos\frac{n\pi}{3}$$
このとき,$$\displaystyle\sum_{k=1}^{50000}a_{k}$$の正の約数の個数を解答してください.

解答形式

整数で解答してください.