幾何No.4

問題文

$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし，辺 $BC$ の中点を $M$ とします． $\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると，線分 $AD$ 上の点 $S$ が $HS \perp AM$ を満たし，さらに以下が成り立ちました．
$$ AH=10, \quad AS=9, \quad SD=8 $$このとき， $BD^2+CD^2$ の値は $\gcd (a,c)=1 $ なる正の整数 $a,b,c$ を用いて $\dfrac{a-\sqrt{b}}{c}$ と表せるので， $a+b+c$ の値を解答してください．

解答形式

正の整数を半角で解答．

$AB>AC$なる鋭角三角形$ABC$について重心を$G$, 辺$BC$の中点を$M$, 辺$AB$の中点を$N$とします. 点$D$を円$MNC$上かつ直線$CA$に関して点$B$と反対側になるように取ったところ, 以下が成立しました.
$$CG=DG, AC=MD, AD=9, MB=19$$
このとき, 三角形$ABC$の面積の$2$乗を求めてください。

問題文

△ABCの内接円が辺ABと点D、辺BCと点E、辺CAと点Fで接する。角ACBの二等分線と辺ABの交点をG点Dから線分EFに引いた垂線と辺BCの交点をH とすると、
$$BG=8,BD=6,BH=\frac{31}{2}$$
となった。
この時HCの長さを求めよ。

解答形式

求める長さは互いに素なa,bで$$\frac{a}{b}$$と表せるのでa+bを解答してください。

問題文

$AB=6，AC=7$ を満たす三角形 $ABC$ の内心を $I$ ，重心を $G$ とすると， $IG⊥BC$ が成り立ちました．

直線 $BG$ と三角形 $ABC$ の外接円 $Γ$ の交点$T(≠B)$ と， $BI$ と $AC$ の交点 $F$ を結んだ直線について， $Γ$ との交点を $S(≠T)$ とします．

$BG$ と $AC$ の交点を $D$，$SD$ と $Γ$ の交点を $X(≠S)$ とし， $BX$ と $AC$ の交点を $K$ とする時，線分 $BK$ の長さの $2$ 乗の値を求めて下さい．

解答形式

答えが正整数なら半角数字でそのまま入力して下さい．

答えが分数なら互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を入力して下さい．

問題文

三角形 $ABC$ の辺 $BC$ 上(端点を除く)に点 $D$ があり，三角形 $ABD$ の外接円と線分 $AC$ が点 $E$ で再び交わった．線分 $AD$ と線分 $BE$ の交点を $F$ とすると，三角形 $BDF$ の外接円と線分 $AB$ が点 $G$ で再び交わり，$GB = GE$ が成立した．また直線 $FG$ と線分 $BC$ が点 $H$ で交わり，$\angle BAD = \angle CAH$ をみたした．$AE = 5 , DG = 2$ であるとき，線分 $GH$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正整数 $a , b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a + b$ の値を解答せよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$\quad$鋭角三角形 $ABC$ において， $B$ を通り直線 $AC$ に平行な直線上に点 $P$ を， $C$ を通り直線 $AB$ に平行な直線上に点 $Q$ をそれぞれとると， $A,P,Q$ はすべて直線 $BC$ に関して同じ方にあり， $\angle APB=\angle AQC$ が成立した．また，三角形 $PAB$ の外接円と三角形 $QAC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とし，直線 $PQ$ と直線 $BX,CX$ の交点をそれぞれ $R,S$ とすると，
$$\cos\angle BXC=\frac 15，CX-BX=5，XR:XS=5:3$$が成立した．さらに，線分 $BC$ の中点を $M$ ，直線 $AX$ と三角形 $PXQ$ の外接円が再び交わる点を $T$ とし，三角形 $TPQ$ の内心を $I$ とすると，直線 $AX$ と直線 $MI$ は平行であった．このとき，線分 $XI$ の長さを求めよ．

解答形式

求める値の二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので， $a+b$ を半角数字で解答してください．

$AB>AC$なる鋭角三角形$ABC$について, 内心を$I$, 内接円を$\omega$とし, $\omega$と辺$BC,CA,AB$の接点をそれぞれ$D,E,F$とします. 辺$BC$上に点$P$を, 線分$FP$が線分$AD$と平行になるようにとり, 円$ADF$と円$AIB$の交点を$K(\ne{A})$とします. ここで, 直線$DK$と直線$EF$の交点を$Q$とすると
$$
BP:FQ=5:2\sqrt6, {\quad}\angle{EFP}=\angle{EKF}
$$
が成り立ちました. 線分$EP$と線分$AD$の交点を$R$とするとき, $\Large{\frac{ER}{EF}}$の値は整数$a,b,c$を用いて$\Large{\frac{b+\sqrt{c}}{a}}$と表せるので, $a+b+c$の値を解答してください.

問題文

$\displaystyle\frac{728^{3^m}+730^{3^n}}{3^{m+n}}$ が整数となるような正整数 $(m,n)$ の組すべてについて, $mn$ の総和を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

問題文

ある鋭角三角形ABCにおいてAから対辺への
垂線の足をD,ADの中点をM,△ABCの内心を
IとするとAC//MIである。
BD=1,CD=6のとき△ABCの面積を求めよ。

解答形式

ある程度シンプルな形で答えよ。

問題文

円$C：(x-65)^2+(y-66)^2=67$上にある有理点の個数を求めて下さい．

ただし有理点とは，$x$座標・$y$座標が共に有理数であるような点を指します．

解答形式

証明をつけて解答して下さい．

互いに外接する3つの円 $J,K,L$ があり，$K$ と $L$ の接点を $\mathrm A$，$L$ と $K$ の接点を $\mathrm B$，$J$ と $K$ の接点を $\mathrm C$ とする．$\triangle\mathrm{ABC}$ について，頂点 $\mathrm A,\mathrm B,\mathrm C$ の対辺の長さをそれぞれ $a,b,c$ とするとき，円 $J,K,L$ の半径を求めよ．

ただし，解答に際しては $a=17,\ b=13,\ c=14$ の場合の $J$ の半径の値を答えよ．
整数でない有理数は既約分数(分母は自然数，分子は整数で，互いに素)で表し，$\displaystyle\frac{5}{13}$ なら
5/13
のように記入して答えよ．

問題文

$AB≠AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の内心を$I$とする。三角形$ABC$の内接円$\omega$は辺$BC,CA,AB$とそれぞれ点$D,E,F$で接している。$D$を通り$EF$に垂直な直線と$\omega$の交点のうち,$D$でない方を$G$とし,直線$AG$と$\omega$の交点のうち,$G$でない方を$H$とする。さらに,三角形$BHF$と三角形$CHE$の外接円の交点のうち,$H$でない方を$J$とし,直線$HJ$と直線$DI$の交点を$X$とすると以下が成立した。
$$
DX=\sqrt{1122}　AH||DX　DG=22
$$
このとき,$AX^{2}$は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せられるので,$a+b$の値を解答して下さい。

解答形式

半角数字で解答して下さい。