数学の問題一覧
問題文
$2025^{2026}+2026^{2025}$ について以下の問いに答えよ。
$(1)$ $625$ で割った余りを求めよ。
$(2)$ 下 $4$ 桁の数を求めよ。
解答形式
答え二つを半角カンマ(,)で区切って答えてください。
例)123,456
追記：解答を修正しました。答えが合っているのに誤答判定された方は申し訳ございません。
問題文
各桁が奇数のみで表される自然数の逆数からなる級数
$\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{15}+\frac{1}{17}+\frac{1}{19}+\frac{1}{31}+\cdots$
の和を $S$ とすると、
$$\sum\limits_{n=1}^{10} \dfrac{1}{n} < S < 2 \sum\limits_{n=1}^{5} \dfrac{1}{2n-1}$$
となることを示せ。
問題文
$3$ つの円が互いに外接し$,\,$ かつ各円が直線 $l$ に接している$.\,$ $1$ つの円と直線 $l$ との接点を $\mathrm{O}$ とし$,\,$ その円と他の $2$ 円との接点をそれぞれ $\mathrm{A\,,B}$ とする$.\,$ $\mathrm{O}$ から直線 $\mathrm{AB}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とする$.\,$ 線分 $\mathrm{AB}$ の長さを $d$ として$,\,$ 線分 $\mathrm{OH}$ の長さを $d$ を用いて表せ$.$
$$問 題$$
$自然数Nと素数p,q,rが以下の式を満たすとき、Nを求めよ。$
$$
\begin{cases}
N＝p^qq^pr\\
p ^q +q ^p＝r
\end {cases}
$$
問題文
ウサギとカメが、$1000$ $\mathrm{m}$ の距離を競走した。カメは $5$ $\mathrm{m/}$分 の速度で出発し、休むことなく歩き続けた。しかし、進むにつれその速度は $1$ $\mathrm{m}$ 当たり $0.001$ $\mathrm{m/}$分 の割合で連続的に遅くなった。一方、ウサギは $200$ $\mathrm{m/}$分 の速度で走り続けたが、途中で一休みした。 競走の結果、カメはウサギよりも $1$ 分早くゴールした。このとき、ウサギは何分休んでいたか。
解答形式
$\ln{2}=0.693, \ln{5}=1.609$ とし、整数(半角数字)で解答せよ。
問題文
以下の $x$ に関する $3$ 次方程式は相異なる $3$ 個の複素数解をもつので，それぞれの解を $\alpha,\beta,\gamma$ とします．
$$x^3-2^{2025}x^2+24x-2^{2023}=0$$
このとき，以下の値は整数になるので，その正の約数の個数を求めてください．
$$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)$$
解答形式
整数で解答してください．
補足
https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの31番の問題と同じです．
問題文
以下の $x$ に関する $100$ 次方程式の（重解を含む）$100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします．
$$x^{100}+x^{99}+2025x+12=0$$
このとき，以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{100} ({\alpha_k}^{100}+{\alpha_k}^{99})$$
解答形式
整数で解答してください．
補足
https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの14番の問題と同じです．
問題文
$\omega$ を $1$ の $3$ 乗根のうち $1$ でないものの一方とします．
$$S={\sum_{k=1}^{2026} \frac{1}{k^2+(2\omega+1)k-1}}$$
としたとき，$\left|\frac{S-1}{S}\right|$ を求めてください．
解答形式
求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ を解答してください．