数学の問題一覧

問題文

$p$ は $1<p<2$ を満たす実数とする。関数 $f(x)$ は

$$
f(x)
= p x - \frac{1}{x}
\int_{\frac{1}{\sqrt{p}}}^{\sqrt{p}} \lvert f(t) \rvert \, dt
$$

を満たしている。ただし，自然対数の底 $e$ について，$2.7<e<2.8$ である。

$(1)$　関数 $f(x)$ を求めよ。

$(2)$　$p=\sqrt{e}$ とする。$(1)$ で求めた関数 $f(x)$ について，座標平面における $y=f(x)$ のグラフの $x>0$ の部分に点 $A$，$x<0$ の部分に点 $B$ をとる。
線分 $AB$ の長さの最小値を求めよ。

解答形式

特に指定しません。

問題文

$O$ を原点とする座標空間において，$2$ 点 $P, Q$ が次の条件をすべて満たすとき，線分 $PQ$ が通過しうる範囲を $K$ とする。
$K$ の $x^{2}+y^{2}\le 4$ を満たす部分の体積を求めよ。

$(a)$　点 $P$ は平面 $y=0$ 上にある。
$(b)$　$OP = PQ = 2$
$(c)$　線分 $PQ$ は平面 $x=0$ に含まれるか，または平行である。
$(d)$　線分 $PQ$ は $z\ge 0$ を満たす領域に完全に含まれる。

解答形式

特に指定しません。

問題文

$a, b$ を実数とする。複素数 $z$ に対して
$$
f(z)=z^{4}+a z^{3}+b z^{2}+a z+1
$$
とおく。また，方程式 $f(z)=0$ のすべての解は $|z|\le 1$ を満たしている。

$(1)$　点 $(a, b)$ に関する必要十分条件を求めよ。

$(2)$　$f(1+i)$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

解答形式

$(2)$について、$f(1+i)$が動きうる図形を説明すれば可とします。

問題

問題$O$ を原点とする座標空間において，不等式
$$
x^2 + y^2 > 1,\quad z \ge 0
$$
の表す領域を $E$ とする．

また，$1$ 辺の長さが $3$ である立方体（内部を含む）を $S$ とする．

立方体 $S$ が次の（＊）を満たしながら自由に動くとき，立方体 $S$ の通りうる範囲のうち
$z \ge 0$ の部分 $V$ の体積を求めよ．

（＊）立方体 $S$ と領域 $E$ が共有点を持たない．

解答形式

1つの項にして解答
・分数を含む場合
分子/分母　のように解答
※分母に根号を含まない形にすること。
・根号を含む場合
記号「√」を用い、「+」,「-」を含むとき根号の中身全体を()でくくる
　例　√(2+3√2)
・分子、分母が多項式で表される場合
該当する多項式全体を()でくくる
　例　(2+3√2)/2
・πを含む場合　
　例　√2π 「()」は不要
　特に分子にπがあるとき「記号/」の直前にπを記入
　例　3√2π/5、(2+3√2)π/2

問題文

複素数平面上のn個の点z,z^2,z^3,…z^n(z≠+-1)が全て同一円周上にあることの必要十分条件は、|z|=1であることを証明せよ

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

x≧0, y≧0, x|2x+y|+y|x-2y|=2を満たすとき、x+2yのとりうる値の最大値と最小値を求めよ。また、そのときのx,yの値も求めよ。

解答形式

一行目に最小値、二行目に最大値を書いてください。
x+2yはx=○○, y=□□のとき最小値△
x=●●, y=■■のとき最大値▲
のように答える。
答えにルートが出る場合は、有理化はして答えること。また、”,”の後には空白はありません。

問題文

奇数回で当たる確率が $\dfrac{2}{n}$，偶数回で当たる確率が $\dfrac{3}{n}$のくじを$n$回引いた時，少なくとも1回当たる確率を $P_n$，1回以上当たった時，最初の当たりが奇数回で起こる確率を $Q_n$ とするとき，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}Q_n$ を求めてください.

解答形式

求める値は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ を解答してください. 数字は半角で入力してください.

第3問

$t$が実数全体を動くとする。
このとき、点$$(\frac{1}{1+t^2},\frac{t}{1+t^2})$$はどのような図形を描くか答えよ。

解答する際の注意

答えの図形が正確に分かるようにお答えください。

第4問

$θ$を媒介変数とし、次のように表される曲線$C$を考える。$$\begin{cases}x=θ-sinθ\\y=1-cosθ\end{cases}$$
$0≦θ≦2π$として、この曲線$C$の長さ$L$を求めよ。

第7問

次の定積分を求めよ。$$\int_{0}^{\frac{π}{2}}{\frac{dx}{1+tanx}}\quad$$

第2問

次の空欄$(ア)～(エ)$に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
関数$f(x)$を$$f(x)=\frac{log(x)}{x}$$と定める。
$f(x)$は、$x=(ア)$で、極大値$\frac{(イ)}{e}$をとる。
また、$$\int_1^e{f(x)dx}\quad$$
の値は$\frac{(ウ)}{(エ)}$である。

ただし、対数は自然対数を表し、$e$は自然対数の底とする。

第6問

次の問に答えよ。
$(1)$ $cos3θ=4cos^3θ-3cosθ$を示せ。
$(2)$ $cos4θ$を$cosθ$の整式で表せ。
$(3)$ $cos\frac{2}{7}π$が無理数であることを示せ。